산곡동고1수학과외: 정의역 제한으로 역함수의 가능성 판단하기
함수값부터 계산하려고 x=-3을 대입했지만, 그 값이 애초에 정의역에 포함되는지 확인하지 않았다면 계산 결과만으로는 올바른 풀이가 되지 않는다. 산곡동 지역에서 고등학교별 내신 일정과 귀가 후 학습 시간이 다를 수 있는 상황에서도, 이 문제는 첫 줄에서 정의역을 읽는 순서를 스스로 세우는 데서 출발한다.
제곱함수에 제한을 붙이면 역함수가 생기는 이유
함수 f(x)=x²-4를 전체 실수에서 생각하면 서로 다른 입력이 같은 함수값을 만든다.
f(2)=0, f(-2)=0
따라서 전체 실수에서 이 함수는 일대일 함수가 아니므로 역함수를 함수로 정하기 어렵다. 하지만 정의역을 x≥0으로 제한하면 음의 입력이 사라진다. 이때는 x가 커질수록 x²-4도 커지므로 같은 함수값에 대응하는 입력이 둘 이상 생기지 않는다.
정의역: x≥0, 치역: y≥-4
y=x²-4에서 x≥0이라는 조건을 함께 사용하면 x=√(y+4)만 선택할 수 있다. 따라서 역함수는 f-1(x)=√(x+4)이고, 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역인 x≥-4이다.
답안에서 빠진 한 줄이 계산 오류로 이어진 장면
학교 프린트의 문제에서 정의역이 x≥0인 함수 g(x)=x²-1에 대해 g(−3)을 구하라는 문항을 제시했다. 학생은 다음처럼 작성했다.
g(−3)=(−3)²−1=8
계산 자체는 8이지만, −3은 정의역 x≥0에 포함되지 않는다. 그러므로 함수값 g(−3)은 정의되지 않는다. 이 장면은 제곱 계산을 못한 것이 아니라, 입력값과 정의역의 관계를 확인하지 않은 데서 생긴 오답이다.
반대로 g(3)은 정의역에 포함되므로
g(3)=3²−1=8
이처럼 같은 출력값 8이 나오더라도 허용된 입력인지 먼저 판단해야 한다. 제한된 정의역에서 역함수가 가능하다는 근거도 바로 이 입력 범위와 함수값의 일대일 대응이다.
계산 전에 적어야 할 판단 순서
- 문제에 제시된 정의역 제한을 식 옆에 다시 적는다.
- 주어진 입력값이 그 조건을 만족하는지 확인한다.
- 허용된 입력일 때만 함수식에 대입한다.
- 역함수를 묻는다면 제한된 정의역에서 서로 다른 x가 같은 y를 만드는지 살핀다.
예를 들어 h(x)=(x-1)²+2, 정의역 x≤1에서는 x가 1에 가까워질수록 함수값이 작아지고, x가 작아질수록 함수값이 커진다. 따라서 이 제한 안에서는 일대일 대응이 가능하다. y=(x−1)²+2에서 y−2=(x−1)²이고, x≤1 조건 때문에 x−1=−√(y−2)를 선택한다. 그러므로
h-1(x)=1−√(x−2), 단 x≥2
이다. ±를 모두 쓰면 원래 정의역 제한을 무시하게 되므로 역함수가 아니라 두 값을 내놓는 관계가 된다.
말로 근거를 붙인 뒤 계산하기
훈련에서는 식을 보자마자 계산하지 않고, 먼저 “입력값이 정의역에 들어가는가, 그리고 이 제한으로 함수가 일대일이 되는가”를 말하게 한다. 위의 g(−3)에서는 “−3은 x≥0을 만족하지 않으므로 함수값을 계산하지 않는다”고 말한 뒤 답을 정의되지 않음으로 적는다.
역함수 문제라면 “x≤1로 제한했기 때문에 h(x)의 같은 함수값에 두 입력이 대응하지 않는다. 제곱근의 부호는 x−1≤0 조건에 따라 음수로 정한다”까지 적는다. 계산 결과만 맞히는 것이 아니라 정의역 제한이 부호 선택과 역함수의 존재를 어떻게 결정했는지를 답안에 남기는 방식이다.
조건을 바꾼 문제에서 첫 행동을 확인하다
이후에는 p(x)=−(x+2)²+5, 정의역 x≥−2인 문제를 제시한다. 학생이 먼저 정의역을 읽고, 꼭짓점 오른쪽에서 함수가 감소하므로 일대일이라는 점을 판단하는지 본다. y=−(x+2)²+5에서
(x+2)²=5−y
이고 x≥−2이므로 x+2≥0이다. 따라서
p-1(x)=−2+√(5−x), 단 x≤5
가 된다. 학생이 이 문제에서 별도의 순서 지시 없이 정의역 확인을 먼저 하고, 제곱근 조건과 부호를 스스로 설명하면 수정된 행동이 새로운 식에도 옮겨간 것으로 본다.
다음 날에는 전날 풀이를 모두 다시 남기는 대신, 이 판단 순서를 재현하지 못한 문제만 기록한다. 정의역을 확인하지 않고 대입했거나 역함수의 부호 근거를 빠뜨린 경우에만 해당 식과 조건을 함께 남겨, 같은 계산을 반복하지 않고 실제로 무너진 수학적 판단을 다시 확인한다.