민락동고2수학과외에서 확인한 사잇값 정리의 실제 적용
송현고등학교와 부용고등학교가 있는 민락동에서는 통학과 과제 시간이 함께 늘면서, 한 문제의 풀이 조건을 끝까지 기록하는 습관이 중요해진다. 민락주공2단지나 민락엘리트17단지 생활권에서 귀가 후 제한된 시간에 문제를 풀 때도 사잇값 정리는 식의 계산보다 구간과 함수값을 정확히 읽는 과정이 먼저다.
f(0), f(1), 그리고 양끝에서의 극한은 서로 다른 역할을 한다
다음 함수가 있다.
f(x)=x3-4x+1
구간 [0, 1]에서 방정식 f(x)=0의 해가 존재하는지 판단해 보자. 다항함수이므로 f는 [0, 1]에서 연속이다. 이제 닫힌구간의 양끝 함숫값을 계산한다.
f(0)=1, f(1)=1-4+1=-2
따라서 0은 f(0)=1과 f(1)=-2 사이에 있다. 사잇값 정리에 의해
어떤 c∈(0,1)이 존재하여 f(c)=0
이다. 정확한 해를 구하지 않아도 존재성을 판단할 수 있는 이유가 여기에 있다.
좌우극한을 적었다고 닫힌구간 조건을 확인한 것은 아니다
풀이 중 학생이 다음과 같이 적었다.
“limx→0+f(x)=1, limx→1−f(x)=-2이므로 두 값의 부호가 다르다. 따라서 사잇값 정리를 사용할 수 있다.”
결론 자체는 맞지만, 이 문장만으로는 사잇값 정리의 조건을 모두 확인하지 못했다. 사잇값 정리는 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 목표값이 f(a)와 f(b) 사이에 있을 때 적용한다. 여기서는 좌우극한만 쓰는 것이 아니라
f가 [0,1]에서 연속이고, f(0)=1, f(1)=-2
를 확인해야 한다. 다항함수의 경우 모든 실수에서 연속이므로, 양끝의 함숫값과 닫힌구간을 함께 적어야 논리가 완성된다. 특히 f(0)과 limx→0+f(x), f(1)과 limx→1−f(x)는 연속일 때 서로 일치하지만, 사잇값 정리의 직접적인 조건은 구간 위 연속성과 양끝 함숫값이다.
기호의 뜻을 말한 뒤 식 한 줄을 바로 고쳐 쓰기
풀이를 고칠 때 먼저 기호의 뜻을 말로 설명한다.
- [0,1]은 0과 1을 포함하는 닫힌구간이다.
- f(0), f(1)은 각각 양끝점에서의 함수값이다.
- f가 [0,1]에서 연속이어야 사잇값 정리를 적용할 수 있다.
그 설명에 맞춰 기존 문장의 한 줄을 다음처럼 바꾼다.
f는 다항함수이므로 [0,1]에서 연속이고, f(0)=1, f(1)=-2이므로 0은 두 함수값 사이에 있다.
이후에 “따라서 어떤 c∈(0,1)에 대하여 f(c)=0이다”라고 이어 쓰면, 좌우극한과 함숫값을 섞지 않고 조건을 갖춘 풀이가 된다.
계수와 구간이 바뀐 문제에서 처음부터 다시 확인하기
다음 문제를 별도로 제시한다.
g(x)=2x3-5x+2일 때, 구간 [0,1]에서 g(x)=0인 실수의 존재를 사잇값 정리로 판단하라.
풀이를 시작할 때 먼저 “g는 다항함수이므로 [0,1]에서 연속”이라고 적는다. 다음으로
g(0)=2, g(1)=2-5+2=-1
을 계산한다. 0은 2와 -1 사이에 있으므로 사잇값 정리에 의해 어떤 c∈(0,1)이 존재하여 g(c)=0이다.
이때 좌우극한을 불필요하게 양끝 함숫값으로 바꾸어 쓰지 않고, 닫힌구간의 연속성·양끝 함숫값·목표값의 위치를 차례로 확인했다면 새로운 계수에서도 같은 판단을 유지한 것이다. 마지막으로 g(0)g(1)=2×(-1)=-2<0임을 계산해 부호 조건까지 검산한다.