민락동 고3수학과외, 공간좌표 대칭을 식과 그림으로 검증하기
민락동에서 송현고등학교와 부용고등학교를 오가는 고3 학생은 중학교 때보다 이동과 과제, 시험 준비를 함께 관리해야 한다. 그래서 짧은 풀이 시간에도 답만 적기보다 좌표의 기준과 변화를 먼저 확인하는 습관이 중요하다.
이전 답의 경계를 그대로 옮긴 오답
점 P(−2, 3, 5)를 yz평면에 대칭시킨 점을 표로 나타낸 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.
| 좌표 | x | y | z |
|---|---|---|---|
| 원래 점 | −2 | 3 | 5 |
| 대칭점 | −2 | −3 | 5 |
오답식: P′(−2, −3, 5)
이 식은 틀렸다. yz평면은 x=0인 평면이므로, 이 평면에 대한 대칭에서는 x좌표의 부호만 바뀌고 y,z좌표는 그대로 유지된다. 학생은 앞서 풀었던 다른 대칭 문제의 경계를 그대로 옮겨 y좌표를 바꾸었다.
기준 평면을 먼저 확인한 수정 과정
- 틀린 줄 표시: (−2, 3, 5) → (−2, −3, 5)에서 x가 그대로인 부분에 표시한다.
- 조건 확인: yz평면에서는 대칭점과 원래 점을 잇는 선분이 x축 방향이고, 두 점의 중점은 x=0이어야 한다.
- 식 수정: (x,y,z) → (−x,y,z)이므로 P′=(2,3,5)이다.
- 중점 검산: ((−2+2)/2,(3+3)/2,(5+5)/2)=(0,3,5)이므로 중점이 yz평면 위에 있다.
- 거리 검산: 원점까지의 거리는 두 점 모두 √38이고, yz평면까지의 거리는 각각 |−2|=|2|=2이다.
대칭은 좌표를 무조건 바꾸는 과정이 아니라, 기준 평면에 수직인 좌표만 부호를 바꾸는 과정이다.
표현을 바꾼 독립 검증
이번에는 점 Q(4,−1,2)를 xz평면에 대칭시킨 점을 구한다. xz평면의 방정식은 y=0이므로 변환식은
(x,y,z) → (x,−y,z)
이다. 따라서 Q′=(4,1,2)이다.
중점은 ((4+4)/2,(−1+1)/2,(2+2)/2)=(4,0,2)로 xz평면 위에 있고, 두 점의 거리는 2이다. 원래 점과 대칭점이 평면의 양쪽에 같은 거리로 놓였으므로 첫 문제에서 확인한 기준도 새로운 평면과 좌표에 맞게 독립적으로 성립한다.