민락동고1수학과외: 역함수 그래프의 교점이 y=x에 놓이는 이유
민락동에서 송현고등학교와 부용고등학교의 학교 자료를 복습하는 학생이라면, 통학과 과제가 겹치는 시간에도 함수의 관계를 식으로 끝까지 확인하는 연습이 필요하다. 역함수 단원에서는 그래프를 외우는 것보다 원래 함수의 입력과 출력이 어떻게 바뀌는지를 추적해야 한다.
f⁻¹(x)는 1/f(x)가 아니다
학생의 풀이에는 다음과 같은 흔적이 남아 있었다.
f(x)=2x-3이므로 f⁻¹(x)=1/(2x-3)
이 식은 역함수가 아니라 함수값의 역수이다. 역함수는 원래 함수의 입력과 출력을 서로 바꾼 뒤, 바뀐 식에서 새로운 입력을 기준으로 정리한다.
y=2x-3에서 x와 y를 교환하면 x=2y-3이고, y에 대하여 풀면
y=(x+3)/2
이 식이 f⁻¹(x)이다.
교환된 두 좌표가 만드는 대칭
함수의 그래프 위에 점 (a,b)가 있다는 것은 f(a)=b라는 뜻이다. 역함수에서는 입력과 출력이 바뀌므로 대응하는 점이 (b,a)가 된다. 따라서 함수와 역함수의 그래프는 좌표를 서로 바꾸는 변환에 의해 대칭이며, 그 대칭축이 y=x이다.
두 그래프의 교점 좌표를 (p,q)라고 하자. 이 점이 두 그래프에 동시에 놓이면 원래 함수와 역함수에서 서로 대응되는 좌표가 같아야 하므로 p=q이다. 따라서 교점은 반드시 y=x 위에 있다.
식으로 확인한 교점
앞의 함수와 역함수의 교점을 직접 구하면
2x-3=(x+3)/2
4x-6=x+3
3x=9
x=3
y=2(3)-3=3이므로 교점은 (3,3)이다. 실제로 x좌표와 y좌표가 같아 y=x 위에 놓인다. 학생이 처음처럼 1/(2x-3)을 사용하면 전혀 다른 그래프를 비교하게 되므로, 교점의 성질도 설명할 수 없게 된다.
빠진 줄부터 오답을 다시 쓰는 방법
오답표에서 ‘교점이 y=x 위에 놓이는 이유’가 빠져 있었다면 계산 결과만 고치지 않고 다음 줄을 풀이에 삽입한다.
- 원래 그래프의 점을 (a,b)로 둔다.
- 역함수 그래프에서는 좌표가 (b,a)로 바뀐다.
- 교점에서는 같은 점이어야 하므로 a=b이다.
- 따라서 교점은 y=x 위에 있다.
이후 역함수식을 구할 때는 반드시 y=원래 함수식 → x와 y 교환 → y에 대해 정리의 중간식을 남긴다. 계산이 틀리면 어느 줄에서 x와 y 교환 또는 정리가 잘못되었는지 혼자 찾을 수 있다.
표로 제시된 새 문제에서 확인하기
형식이 다른 문제로 다음 대응표를 제시한다.
x: 1, 4, 7
f(x): 5, 2, 8
역함수에서는 점 (1,5), (4,2), (7,8)이 각각 (5,1), (2,4), (8,7)로 바뀐다. 학생이 표의 두 행을 단순히 뒤집는 데서 멈추지 않고, 교점이 있다면 그 점의 두 좌표가 같아야 한다는 이유를 직접 적는지 확인한다.
또한 문제집의 다른 문항에서 중간식을 유지한 채 f⁻¹(x)를 1/f(x)로 처리하지 않는지 본다. 맞혔더라도 풀이 시간이 오래 걸렸다면 정답만 표시하지 않고, 좌표 교환과 y=x 조건을 스스로 설명했는지 재확인 대상으로 남긴다.