금오동고2수학과외에서 연속과 미분가능을 구분할 때는 계산을 서두르기보다 한 점의 좌우극한과 함숫값을 먼저 맞춰야 한다. 금오주공3단지와 금오 현대아이파크아파트에서 의정부시 내 학교로 통학하며 과제와 시험을 병행하는 상황에서는 풀이 여백에 조건을 짧게 남기는 습관이 특히 중요하다.
|x|의 연속성을 미분가능성으로 잘못 바꾼 줄
풀이 여백에 다음과 같은 문장이 남아 있었다.
f(x)=|x|는 x=0에서 연속이므로 미분가능하다.
앞부분은 맞지만 결론은 틀렸다. 연속인지 확인하려면
lim(x→0-) |x| = 0, lim(x→0+) |x| = 0, f(0)=0
이므로 세 값이 같아 x=0에서 연속이다. 그러나 미분가능성을 판단하려면 좌우 미분계수를 비교해야 한다.
lim(h→0-) (|h|-0)/h = -1
lim(h→0+) (|h|-0)/h = 1
좌우 미분계수가 다르므로 미분가능하지 않다. 즉, 연속은 끊어지지 않는다는 뜻이고 미분가능은 그 점에서 좌우 변화율까지 같다는 뜻이다.
계수 조건은 극한을 맞춘 뒤 미분계수로 나눈다
다음 함수에서 x=1에서 연속이고 미분가능하도록 a,b,c의 조건을 정해 보자.
f(x) = { ax+2 (x<1), x²+bx+c (x≥1) }
먼저 연속 조건은 좌극한, 우극한, 함숫값을 비교하는 것이다.
lim(x→1-) f(x)=a+2
lim(x→1+) f(x)=f(1)=1+b+c
따라서
a+2=1+b+c
미분가능성을 위해서는 각 부분의 기울기도 같아야 한다.
왼쪽 미분계수=a
오른쪽 미분계수=2+b
그러므로
a=2+b
이를 연속 조건에 대입하면
(b+2)+2=1+b+c
c=3
결국 이 함수가 x=1에서 연속이고 미분가능하려면
a=b+2, c=3
이어야 한다. 연속 조건만 확인하면 a+2=1+b+c까지만 얻으므로, 그것만으로 미분가능하다고 결론내릴 수 없다.
잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 확인하기
| 잘못된 풀이 | 수정한 풀이 |
|---|---|
연속이면 미분가능 |
좌극한=우극한=f(1)을 먼저 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교 |
|x|는 0에서 연속 → 미분가능 |
좌우 미분계수 -1, 1이므로 미분불가능 |
a+2=1+b+c만 작성 |
a+2=1+b+c, a=2+b를 각각 작성 |
이 비교 훈련에서는 문제의 식 위에 먼저 연속: 값 비교, 미분가능: 기울기 비교를 적는다. 그 다음 x=1에서 왼쪽 식과 오른쪽 식을 따로 계산해 한 줄씩 남긴다. 이렇게 해야 계수와 부호가 달라졌을 때도 연속 조건만으로 답을 확정하지 않게 된다.
부호가 바뀐 함수에서 다시 확인하는 조건
이번에는 다음 함수로 판단 순서를 점검한다.
g(x) = { -px+4 (x<2), -x²+qx+r (x≥2) }
x=2에서 연속이 되려면
-2p+4=-4+2q+r
이어야 한다. 미분가능성까지 요구하면 좌우 미분계수를 비교하여
-p=-4+q
즉, q=4-p이다. 이 값을 연속 조건에 넣으면
-2p+4=-4+2(4-p)+r
r=0
따라서 검증 결과는 q=4-p, r=0이다. 앞의 함수처럼 계수의 차가 +2로 나타나는 것이 아니라, 부호가 바뀐 오른쪽 식 때문에 q=4-p가 된다. 식을 기존 예제와 비슷하다고 보고 결과를 억지로 맞추면 안 된다.
p=3, q=1, r=0을 대입하면 왼쪽과 오른쪽 함수값은 모두 -2, 좌우 미분계수는 모두 -3이므로 연속이고 미분가능하다. 반면 p=3, q=1, r=1이면 좌우 미분계수는 같아도 함수값이 달라져 연속이 아니므로 미분가능하지 않다.