금오동고1수학과외: 정의역을 먼저 보는 합성함수와 역함수
금오동에서 통학하며 학교 프린트와 문제집을 함께 풀다 보면 같은 함수 개념이 서로 다른 표현으로 등장한다. 이때 함수식만 보고 계산을 시작하면 입력값의 범위나 합성 순서를 놓치기 쉽다. 고등학교 함수 문제에서는 정의역에 입력값이 들어가는지, 어떤 함수가 먼저 작용하는지, 역함수가 실제로 존재하는지를 한 묶음으로 확인해야 한다.
계산보다 먼저 제외할 입력값
다음 함수가 주어졌다고 하자.
f(x) = (x+1)/(x-2), 정의역은 x ≠ 2
학생이 f(2)를 구하라는 식으로 문제를 잘못 읽고, 분자에 2를 대입하여 3을 적는 경우가 있었다. 그러나 f(2)는
f(2) = (2+1)/(2-2) = 3/0
이므로 정의되지 않는다. 분모가 0이 되는 x=2는 정의역에서 제외된다. 식에 대입할 수 있는지 확인하지 않은 채 계산한 것이 오류의 출발점이다.
입력값을 받는 함수 문제에서는 ‘식에 넣을 수 있는가’를 계산보다 먼저 판단한다.
합성 순서는 오른쪽 함수부터
함수의 합성은 기호의 위치를 기준으로 읽어야 한다. 예를 들어
f(x)=2x-3, g(x)=x2+1
일 때,
(f∘g)(x)=f(g(x))=2(x2+1)-3=2x2-1
이다. 반대로
(g∘f)(x)=g(f(x))=(2x-3)2+1=4x2-12x+10
으로 결과가 달라진다. 학생이 f∘g를 f(g(x))가 아니라 g(f(x))로 바꾸어 적었다면, 단순 계산 실수가 아니라 합성 순서를 뒤집은 것이다.
정의역이 바뀌면 합성함수의 입력 범위도 달라진다
함수의 식이 같아도 정의역이 달라지면 문제의 의미가 달라질 수 있다. 예를 들어
f(x)=√(x-1), 정의역 x≥1
이라면 f(0)은 근호 안이 -1이 되므로 계산할 수 없다. 또한 g(x)=x+2일 때 f(g(x))는
f(g(x))=√(x+1)
이고, 이 합성함수가 정의되려면 x+1≥0, 즉 x≥-1이어야 한다. 원래 f의 정의역이 x≥1이라는 사실만 보고 합성함수의 정의역도 x≥1이라고 하면 안 된다. g(x)가 f에 입력되는 값이므로 g(x)가 f의 정의역 조건을 만족하는지를 다시 따져야 한다.
역함수는 식을 뒤집는 것과 조건 확인을 함께 해야 한다
f(x)=3x-5의 역함수를 구하면 y=3x-5에서 x와 y를 바꾸어
x=3y-5 → y=(x+5)/3
이므로
f-1(x)=(x+5)/3
이다. 실제로 합성하면
f(f-1(x))=3((x+5)/3)-5=x
가 되어 서로 되돌리는 관계가 확인된다.
하지만 f(x)=x2는 정의역을 모든 실수로 두면 역함수가 함수가 될 수 없다. f(2)=4와 f(-2)=4처럼 서로 다른 입력이 같은 출력으로 가기 때문이다. 정의역을 x≥0으로 제한하면 f-1(x)=√x가 가능해진다. 따라서 역함수 문제에서는 식을 변형하는 것뿐 아니라 원래 함수의 정의역과 치역이 일대일 대응을 이루는지도 살펴야 한다.
표현이 달라도 같은 확인 절차를 적용하기
송양고등학교나 송현고등학교 등 의정부시 통학권의 학교 프린트와 문제집은 함수식을 직접 제시하기도 하고, 표나 문장으로 입력과 출력을 설명하기도 한다. 표현이 달라도 다음처럼 연결한다.
- 표에서 입력값이 허용되는 범위를 확인한다.
- 합성 기호가 있으면 오른쪽 함수를 먼저 계산한다.
- 역함수를 구한 뒤 원래 함수와 양방향으로 합성해 x가 돌아오는지 확인한다.
이 과정을 말로만 외우지 않고 식 옆에 실제로 표시해야 한다. 예를 들어 f∘g에서는 ‘g의 출력이 f의 정의역에 들어가는가’를 적고, 역함수에서는 f-1(f(x))와 f(f-1(x))를 각각 계산한다.
새 조건에서 확인한 재검산
훈련 문항으로 다음을 제시한다.
f(x)=1/(x+3), 정의역 x≠-3, g(x)=x-1
먼저 f(g(x))를 구하면
f(g(x))=1/((x-1)+3)=1/(x+2)
이다. 원래 f의 입력인 g(x)=x-1이 -3이 아니어야 하므로 x≠-2라는 합성함수의 정의역이 생긴다. 학생이 식만 1/(x+2)로 적고 x≠-2를 빠뜨렸다면 아직 정의역 확인이 독립적으로 이루어지지 않은 것이다.
이후 f 자체의 역함수를 구하면 y=1/(x+3)에서
y(x+3)=1 → x=1/y-3
이므로 f-1(x)=1/x-3이다. 여기서 역함수의 정의역은 원래 함수의 치역인 x≠0이다. 새 수치와 새 정의역을 사용한 문항에서도 학생이 먼저 제외값을 찾고, 합성 순서를 지키며, 역함수의 정의역까지 재검산하는지를 확인한다.
피곤한 날에는 긴 문제를 무작정 늘리기보다 함수식·표·문장 중 하나로 제시된 짧은 문항을 골라 이 세 판단을 직접 기록하는 편이 효과적이다.