좌표식만 보고 공간도형의 관계를 판별하는 연습
금오동에서 의정부시 안의 송양고등학교, 송현고등학교, 효자고등학교, 상우고등학교 등을 통학권 참고로 삼는 고3 학생은 이동과 과제가 겹치는 날에도 공간도형 문제를 식의 구조부터 해석하는 연습을 진행했다. 금오주공3단지와 금오 현대아이파크아파트 생활권처럼 이동 시간이 일정하지 않은 환경에서는 해설을 기다리기보다 풀이 기준을 스스로 세우는 것이 중요했다.
구의 중심과 반지름을 먼저 복원하기
학생이 다음 구와 평면의 관계를 판별했다.
x2+y2+z2-2x+4y-6z+10=0
2x-y+2z-12=0
완전제곱을 만들면
(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4
따라서 구의 중심은 C(1,-2,3), 반지름은 r=2이다. 평면까지의 거리는
d=|2(1)-(-2)+2(3)-12|/√(22+(-1)2+22)=2/3
이다. d<r이므로 평면은 구와 만나며, 교선은 원이다.
학생의 오답과 부호 확인
학생은 완전제곱 과정에서 다음과 같이 썼다.
x2-2x=(x+1)2-1
이 식은 오답이다. 우변을 전개하면 x2+2x가 되어 원래 식의 -2x와 부호가 맞지 않는다. 올바른 식은
x2-2x=(x-1)2-1
이다. 이 오류 때문에 중심을 C(-1,2,3)으로 잘못 잡고 평면과의 거리를 d=2라고 계산하여 접한다고 판정했다. 실제 중심을 대입하면 구의 식은 0이 되고, 잘못 구한 중심을 대입하면 원래 구의 식이 16이 되어 중심이 될 수 없음도 확인할 수 있다.
틀린 줄에 표시하고 역산하는 풀이 습관
- 별표 표시: x2-2x=(x+1)2-1 줄에 부호 오류를 표시한다.
- 관계 확인: (x-a)2의 전개가 x2-2ax+a2임을 확인해 a=1을 정한다.
- 식 수정: 세 변수 모두 완전제곱으로 바꾸어 중심 C(1,-2,3), 반지름 2를 얻는다.
- 검산: 중심을 구의 원식에 대입하고, 평면 거리와 반지름을 비교한 뒤 d=2/3<2인지 확인한다.
이 과정을 통해 구의 종류가 바뀌어도 먼저 중심과 반지름을 정한 다음, 평면의 법선벡터를 이용해 거리를 비교하는 기준을 유지한다.
계수가 바뀐 새 문제로 독립 검증
다음 문제에서는 같은 판별식을 그대로 반복하지 않고 조건을 처음부터 다시 세웠다.
x2+y2+z2+6x-2y+4z-11=0
x+2y-2z-15=0
구의 식은
(x+3)2+(y-1)2+(z+2)2=25
이므로 중심은 C(-3,1,-2), 반지름은 5이다. 평면까지의 거리는
d=|-3+2(1)-2(-2)-15|/√(1+4+4)=12/3=4
이다. 따라서 d=4<5이므로 새 평면도 구와 만나며 교선은 원이다. 중심을 평면식에 대입해 -3+2+4-15=-12가 되는 것도 확인하여 거리 계산의 부호와 계수를 역검산했다.