의왕시고2수학과외, 약분 뒤에도 남는 함수의 정의역 확인
귀가 후 학교 프린트와 과제를 빠르게 처리하다 보면 식을 간단히 만드는 과정에서 함수의 원래 조건을 놓치기 쉽다. 의왕고등학교, 백운고등학교, 우성고등학교, 모락고등학교 등 의왕시의 여러 고등학교에서 연속을 다룰 때도 계산 결과만 적는 것이 아니라 약분 전후의 정의역과 함숫값을 구분해야 한다.
약분한 식의 값과 원래 함수의 값은 같지 않다
다음 함수의 연속성을 살펴보자.
\( f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\quad(x\ne1) \)
분자를 인수분해하면
\( f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(x\ne1) \)
따라서 \(x\)가 1에 가까워질 때의 좌극한과 우극한은 각각
\( \lim_{x\to1^-}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=2 \)
이고, 양쪽 극한이 같으므로
\( \lim_{x\to1}f(x)=2 \)
이다. 그러나 원래 식에서는 \(x=1\)일 때 분모가 0이므로 \(f(1)\)은 정의되지 않는다. 약분한 \(x+1\)에 \(x=1\)을 대입해 2를 얻었다고 해서 원래 함수의 함숫값이 2가 되는 것은 아니다. 그래프에서는 \((1,2)\)에 뚫린 점, 즉 구멍이 생긴다.
재풀이에서 시작된 오류만 바로잡기
풀이 중 “\(f(x)=x+1\)이므로 \(f(1)=2\)”라고 적었다면 오류는 약분 자체가 아니라 약분한 식의 정의역을 원래 함수에 그대로 적용한 지점에서 발생했다. \(x-1\)을 약분하려면 먼저 \(x\ne1\)이라는 조건을 유지해야 한다.
따라서 그 줄에서 멈추고 다음 세 칸을 다시 적는다.
- 원래 함수의 정의역: \(x\ne1\)
- 좌우극한: \(2,\ 2\)
- 함숫값: \(f(1)\)은 정의되지 않음
만약 문제에서 \(f(1)=2\)로 값을 새로 정한 함수라면 그때는 극한값과 함숫값이 같아져 \(x=1\)에서 연속이다. 반대로 \(f(1)=3\)이라면 극한값은 2이지만 함숫값은 3이므로 연속이 아니다. 연속 여부는 약분 결과 하나가 아니라 “함숫값이 존재하는가, 극한값이 존재하는가, 두 값이 같은가”로 결정된다.
계수와 부호가 바뀐 식에서 다시 확인하기
다음 문제로 약분 후의 조건 확인이 유지되는지 점검한다.
\( g(x)=\dfrac{2x^2-8}{x-2}\quad(x\ne2) \)
분자를 정리하면
\( g(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x-2}=2x+4\quad(x\ne2) \)
따라서
\( \lim_{x\to2^-}g(x)=4,\qquad \lim_{x\to2^+}g(x)=4 \)
이다. 하지만 원래 식은 \(x=2\)에서 정의되지 않으므로 \(g(2)\)은 존재하지 않는다. 약분한 식에 대입한 \(4\)는 극한값이지 원래 함수의 함숫값이 아니다. 만약 \(g(2)=4\)를 추가로 정하면 연속이 되고, \(g(2)=-4\)라면 불연속이다.
이처럼 계수와 식의 모양이 달라져도 약분한 뒤 바로 대입하지 않고, 약분 전의 제외값을 표시한 뒤 좌극한·우극한·함숫값을 차례로 대조해야 한다. 의왕시에서 학교 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때도 이 세 항목을 답안에 남기면 약분과 연속성 판단이 섞이는 오류를 줄일 수 있다.