의왕시고1수학과외, 역함수 기호와 합성 순서 구별하기
의왕고등학교, 백운고등학교 등 의왕시 고등학교의 수학 과제를 살펴볼 때 역함수 단원에서는 기호 하나를 어떻게 읽는지가 풀이 전체를 바꾼다. 특히 귀가 후 과제를 빠르게 처리하는 과정에서 f−1(x)를 1/f(x)로 바꾸는 오류가 나타날 수 있다.
f−1은 분수식이 아니라 입력과 출력의 방향을 바꾼 함수
함수 f(x)=2x−3을 생각해 보자. y=2x−3에서 x와 y를 바꾸면
x=2y−3
이므로 y에 대해 정리하여
f−1(x)=(x+3)/2
를 얻는다. 여기서 f−1은 함수 f의 입력과 출력 관계를 거꾸로 한 역함수다. 반면 1/f(x)는
1/f(x)=1/(2x−3)
이라는 reciprocal 함수이며, 역함수와 전혀 다르다. 예를 들어 f−1(5)=4이지만 1/f(5)=1/7이다.
합성함수 답안에서 빠진 확인 지점
관찰한 풀이에서는 f−1 표시가 나온 다음 줄에 이를 1/(2x−3)으로 바꾸고, 그 식을 다른 함수와 계산했다. 역함수 기호를 읽은 뒤 멈춰 의미를 점검하는 행동 없이 익숙한 분수 계산으로 넘어간 것이다.
예를 들어 g(x)=x+4일 때 정확한 합성은
(g∘f−1)(x)=g((x+3)/2)=(x+3)/2+4=(x+11)/2
이다. 잘못하여 f−1(x)=1/(2x−3)으로 해석하면
g(1/(2x−3))=1/(2x−3)+4
가 되어 전혀 다른 함수가 나온다. 또한 이 잘못된 식은 x=3/2에서 정의되지 않지만, 원래 역함수 (x+3)/2는 모든 실수에서 정의된다. 정의역의 차이도 오류를 잡는 단서다.
풀이 전후에 기호의 뜻을 두 번 고정하기
훈련할 때는 계산을 시작하기 전에 f−1 옆에 “역함수”라고 짧게 표시한다. 그다음 원래 함수와 역함수를 합성하여 확인한다.
f(f−1(x))=2((x+3)/2)−3=x
풀이가 끝난 뒤에도 얻은 식을 다시 f에 넣어 x가 되는지 확인한다. 만약 1/(2x−3)을 넣으면
f(1/(2x−3))=2/(2x−3)−3
이므로 일반적으로 x가 되지 않는다. 이 검산은 두 표현이 서로 다른 대상임을 계산으로 보여 준다.
기호만 바꾼 문제에서의 확인
검산 문제에서는 f(x)=−3x+7, g(x)=2x−1로 조건을 바꾼다. 역함수는
y=−3x+7 → x=−3y+7 → f−1(x)=(7−x)/3
이고, 따라서
(g∘f−1)(x)=2(7−x)/3−1=(11−2x)/3
이다. 학생이 답을 말하기 전에 역함수의 뜻을 먼저 설명하고, 1/f(x)=1/(−3x+7)과 구별한 뒤 계산하는지 본다. 숫자와 부호가 달라져도 같은 확인 행동을 스스로 수행해야 한다.
계산 근거를 먼저 말하는지 확인하기
내손동·고천동·오전동·포일동에서 귀가 후 과제 시간이 짧은 경우에도 정답만 적는 방식보다 기호의 의미를 한 문장으로 말하게 하는 편이 효과적이다. 새로운 식이나 그림이 제시되면 위치가 달라져도 길이·각·평행 조건을 직접 표시해 필요한 성질을 고르는지 함께 살필 수 있다. 역함수 문제에서는 이에 해당하는 기준을 “f−1을 역함수로 해석한 근거를 먼저 말한다”로 둔다.