의왕시 고3수학과외에서 좌표 조건이 바뀔 때 풀이 기준 다시 세우기
내손동·고천동·오전동·포일동처럼 생활권이 나뉘는 의왕시에서는 귀가 시각과 과제량에 따라 시험 준비 순서를 조정할 필요가 있다. 의왕고등학교, 백운고등학교, 우성고등학교, 모락고등학교 등 학교가 다르더라도 좌표 문제에서는 조건을 읽고 변수 관계를 다시 세우는 연습이 핵심이다.
이전 답의 경계를 그대로 사용한 오답
학생은 점 \(P(1,2,-1)\)을 평면 \(2x-y+2z-3=0\)에 대칭이동하는 문제에서 법선벡터를 \(\mathbf n=(2,-1,2)\)로 correctly 잡았지만, 새 조건을 반영하지 않고 이전 문제의 대칭 좌표를 그대로 적용했다.
오답식: \(P'=(1,2,-1)+\dfrac{2}{9}(2,-1,2)\)
이 식은 평면까지의 부호 있는 거리값을 계산하지 않았기 때문에 틀렸다. 점을 평면에 대칭이동할 때는 먼저 \(F(P)=2x-y+2z-3\)에 좌표를 대입하고, 이동량을 \(-2F(P)/\lVert\mathbf n\rVert^2\)로 정해야 한다.
좌표와 평면의 관계를 다시 계산한 과정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 중간식 옆에 ‘법선방향 이동, 평면까지의 거리 두 배’라는 규칙을 적었다.
- \(F(P)=2(1)-2+2(-1)-3=-5\)
- \(\lVert\mathbf n\rVert^2=2^2+(-1)^2+2^2=9\)
- \(P'=P-\dfrac{2F(P)}{\lVert\mathbf n\rVert^2}\mathbf n\)
- \(P'=(1,2,-1)+\dfrac{10}{9}(2,-1,2)=\left(\dfrac{29}{9},\dfrac89,\dfrac{11}{9}\right)\)
구한 점의 중점은 \(\left(\dfrac{19}{9},\dfrac{13}{9},\dfrac19\right)\)이고, 이를 평면에 대입하면
\[ 2\cdot\dfrac{19}{9}-\dfrac{13}{9}+2\cdot\dfrac19-3 =\dfrac{27}{9}-3=0 \]
이다. 또한 \(P'-P=\dfrac{10}{9}(2,-1,2)\)이므로 이동 방향이 평면의 법선방향과 일치한다. 중점 조건과 방향 조건을 함께 확인하면서 답을 확정했다.
대칭 평면을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 평면 \(3x+2y-z+4=0\), 점 \(Q(-1,2,3)\)으로 조건을 바꾸었다.
- \(G(Q)=3(-1)+2(2)-3+4=2\)
- 법선벡터는 \((3,2,-1)\), 제곱 크기는 \(14\)
- \(Q'=Q-\dfrac4{14}(3,2,-1)=\left(-\dfrac{11}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{25}{7}\right)\)
중점 \(\left(-\dfrac97,\dfrac{12}{7},\dfrac{23}{7}\right)\)을 평면에 대입하면 \(-\dfrac{27}{7}+\dfrac{24}{7}-\dfrac{23}{7}+4=0\)이다. 계수와 부호가 바뀌어도 먼저 바뀐 법선벡터와 좌표를 정한 뒤, 대입·중점·평행 조건을 차례로 검산해야 한다.