포일동고2수학과외

포일동 고2수학과외: 사잇값 정리를 쓰기 전 확인할 세 가지

인덕원삼호아파트 생활권에서 의왕시 내 백운고·우성고·의왕고·모락고 등을 통학권 참고로 두고 공부하는 고2 학생의 풀이를 살펴보면, 이동과 과제가 겹치는 시기에 조건 확인이 생략되기 쉽다. 사잇값 정리는 계산보다 적용 범위를 먼저 판단해야 하는 대표적인 단원이다.

끝점값만 계산하고 조건을 비워 둔 풀이

다음 함수가 주어졌다고 하자.

f(x)=x²-4x+1,   0≤x≤3

방정식 f(x)=0의 해가 구간 [0,3]에 존재함을 보이는 문제에서 학생은

f(0)=1, f(3)=-2이므로 0이 존재한다.

라고 적었다. 끝점의 함수값이 1과 -2이므로 0이 그 사이에 있다는 판단 자체는 맞다. 그러나 사잇값 정리를 적용했다는 답안에는 다음 세 조건이 함께 남아야 한다.

1. 구간이 닫힌구간 [0,3]으로 제시되었는가
2. f가 [0,3]에서 연속인가
3. 구하려는 값 0이 f(0)=1과 f(3)=-2 사이에 있는가

이 함수는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다. 또한 -2≤0≤1이므로 사잇값 정리에 의해 어떤 c∈[0,3]에 대하여 f(c)=0이다. 여기서 정리가 보장하는 것은 구간 안의 해의 존재이지, 방정식의 모든 해를 자동으로 구해 주는 것은 아니다.

계산으로 얻은 후보와 정리가 보장하는 범위

실제로 방정식을 풀면

x²-4x+1=0
x=2±√3

이다. 이 중 2+√3은 약 3.73으로 [0,3] 밖이므로 이 문제의 구간 안 해가 아니다. 반면 2-√3은 약 0.27로 구간 안에 있다. 따라서 사잇값 정리의 결론과 계산 결과를 연결하면

c=2-√3∈[0,3]

임을 확인할 수 있다. 학생이 처음부터 풀이 전체를 다시 쓰기보다, 조건을 생략한 문장 다음에 “f는 다항함수이므로 [0,3]에서 연속”을 덧붙이고, 이어서 후보를 구간과 대조하는 방식으로 수정해야 한다.

정의역 밖 후보를 마지막에 제거하는 검증

조건을 바꾸어

g(x)=x²-6x+5,   1≤x≤4

에서 g(x)=0의 해가 존재함을 판단해 보자.

먼저 답안에는

g는 다항함수이므로 [1,4]에서 연속
g(1)=0, g(4)=-3

을 적는다. 이미 g(1)=0이므로 c=1이라는 해가 구간 안에 존재한다. 식을 풀어 얻는 후보는

x²-6x+5=(x-1)(x-5)=0
x=1 또는 x=5

이며, x=5는 정의된 구간 [1,4] 밖이므로 제외한다. 새로운 조건에서도 연속성, 끝점값과 목표값의 관계, 구간 안팎 판별을 순서대로 남겼다면 사잇값 정리를 계산 결과와 혼동하지 않은 것이다.