포일동고1수학과외, 합성식의 대응 순서로 미지 함수 세우기
의왕시 포일동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 백운고등학교·우성고등학교·의왕고등학교·모락고등학교·경기외국어고등학교 등 같은 의왕시 통학권의 학습 상황을 참고할 수 있다. 인덕원삼호아파트 등 생활권에서 이동한 뒤 제한된 시간에 학교 과제와 시험 문제를 처리할 때는 합성함수의 순서를 확인하는 한 줄이 쉽게 생략된다.
식의 겉모양보다 먼저 읽어야 할 대응
다음 조건에서 함수 f를 구해 보자.
g(x)=x-3, f(g(x))=x2+2x-1
합성식 f(g(x))는 먼저 x를 g에 넣고, 그 결과를 다시 f에 넣는 구조다. 따라서 g(x)=x-3을 새로운 입력값으로 두어야 한다.
t=g(x)=x-3라고 놓으면 x=t+3이다. 이 대응을 원래 식에 대입하면
f(t)=(t+3)2+2(t+3)-1=t2+8t+14
따라서 입력 문자를 다시 x로 바꾸면 f(x)=x2+8x+14이다.
멈춘 지점은 계산이 아니라 역으로 바꾸는 순간이다
시간 제한이 있는 풀이에서 학생은 t=x-3까지 적지 않고 곧바로 식을 계산했다. 답안에는 원래 식의 x를 t-3으로 바꾼 흔적이 나타났고, 그 결과 학생의 오답은
f(t)=(t-3)2+2(t-3)-1=t2-4t+2
가 되었다. 이는 t=x-3에서 출발했는데도 x=t-3으로 거꾸로 바꾼 오류다. 식 전개 자체보다 두 입력의 대응 방향을 놓친 것이 핵심적인 문제다.
숫자를 넣어 순서를 검산하는 방법
구한 함수가 맞는지는 같은 문장을 숫자로 바꾸어 확인할 수 있다. x=5이면 g(5)=2이고, 원래 합성식의 값은
f(g(5))=52+2·5-1=34
한편 구한 함수에서는
f(2)=22+8·2+14=34
두 값이 같으므로 g를 먼저 적용한 뒤 f를 적용하는 대응이 유지된다. 답만 다시 적는 대신, ‘새 입력을 무엇으로 두었고 원래 변수는 어떻게 되돌렸는가’를 식에 남겨야 한다.
새 수치로 바꾼 문항에서 확인할 것
수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어 다음 조건을 제시한다.
g(x)=2x+1, f(g(x))=x2-3x+5
이때 첫 줄에 t=2x+1, 이어서 x=(t-1)/2를 세우는지 확인한다. 그러면
f(t)=((t-1)/2)2-3((t-1)/2)+5=(t2-8t+27)/4
가 된다. 예를 들어 x=2일 때 g(2)=5이고 원래 식은 4-6+5=3이다. 구한 식도 f(5)=(25-40+27)/4=3이므로 일치한다.
문항 체류시간을 정해 첫 식을 바로 세우지 못하면 표시만 남기고 뒤의 해결 가능한 문제로 이동하는지도 함께 본다. 이후 돌아와 새 변수 설정과 역변환을 스스로 수행했는지 기록하며, 이 과정을 거쳐 해결된 문제는 복습 목록에서 제외하고 대응 순서를 다시 놓친 문제만 남긴다.