포일동 고3수학과외: 대칭 조건을 좌표식으로 바꾸는 연습
의왕시 포일동에서 통학하며 고등학교 과제와 시험을 병행하는 학생은 계산 속도보다 문제의 조건을 좌표 변화로 정확히 해석하는 연습이 필요했다. 백운고등학교, 우성고등학교, 의왕고등학교, 모락고등학교 등 의왕시 통학권의 고등학교를 참고하더라도, 학교 이동과 과제 부담이 커질수록 풀이의 첫 줄을 정확히 세우는 습관이 중요하다.
대칭면에 수직인 좌표만 바꾸기
점 \(P(3,-2,5)\)를 \(xy\)평면에 대하여 대칭이동한 점을 구하는 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.
학생의 오답: \(P'( -3,2,-5)\)
이 식은 원점 대칭을 적용한 결과이므로 틀렸다. \(xy\)평면은 \(z=0\)인 평면이다. 이 평면에 수직인 방향은 \(z\)축 방향이므로 대칭이동에서는 \(x,y\)좌표를 그대로 두고 \(z\)좌표의 부호만 바꿔야 한다.
따라서 정확한 좌표는
\[ P'(3,-2,-5) \]
이다. 실제 풀이에서는 오답 줄의 \(x,y\)에 표시하고, 기준 평면의 방정식 \(z=0\)을 먼저 확인했다. 점 \(P\)와 \(P'\)의 중점은
\[ \left(\frac{3+3}{2},\frac{-2+(-2)}{2},\frac{5+(-5)}{2}\right)=(3,-2,0) \]
으로 \(xy\)평면 위에 놓인다. 또한 두 점을 잇는 방향벡터는
\[ \overrightarrow{PP'}=(0,0,-10) \]
이므로 \(xy\)평면에 수직이라는 사실까지 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 계산을 반복하지 않고, 구의 중심을 바꾸어 대칭 조건을 다시 적용했다. 중심이 \(C(1,-4,2)\), 반지름이 \(3\)인 구
\[ (x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=9 \]
를 \(xz\)평면에 대하여 대칭이동하면 \(y\)좌표의 부호만 바뀐다. 따라서 중심은
\[ C'(1,4,2) \]
가 되고, 대칭된 구의 방정식은
\[ (x-1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=9 \]
이다. 반지름과 \(x,z\)좌표는 유지되고 \(y\)좌표만 변했으므로, 기준 평면에 수직인 성분을 찾아 식에 반영했는지 검증할 수 있다.