오전동고2수학과외

오전동고2수학과외, 그래프의 끊김을 좌우극한으로 판별하기

오전동의 모락고등학교 시험 범위와 수행평가 준비를 함께 진행하던 중, 불연속 그래프 문항에서 계산보다 먼저 확인해야 할 근거가 빠져 있는 답안이 발견됐다. 동백아파트와 성원아파트 생활권에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀 때 자주 나타나는 유형이었다.

점프와 구멍을 구별하지 못한 답안

다음 함수의 x=1 에서의 불연속을 판단해 보자.

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x+1& x<1\\ 4& x=1\\ 2x+1& x>1\end{array}$

답안에는 “x=1에서 구멍 불연속”이라고 적혀 있었다. 그러나 왼쪽에서 다가갈 때의 값은 2이고, 오른쪽에서 다가갈 때의 값은 3이다.

${\lim }_{x\to 1-}f\left(x\right)=2,{\lim }_{x\to 1+}f\left(x\right)=3$

좌극한과 우극한이 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 따라서 이 점은 점프 불연속이다. x=1에서의 함숫값 f(1)=4도 확인할 수 있지만, 좌우극한이 이미 다르므로 구멍 불연속으로 분류할 수 없다.

그래프를 그리기 전에 세 줄을 확인한다

불연속의 종류를 계산부터 정하지 않고 다음 순서로 답안에 남긴다.

1. 왼쪽 식으로 좌극한을 구한다.
2. 오른쪽 식으로 우극한을 구한다.
3. 정의된 식에서 f(a)를 확인한다.

좌극한과 우극한이 다르면 점프 불연속이다. 두 극한이 같지만 그 값과 함숫값이 다르면 구멍 불연속이다. 세 값이 모두 같으면 해당 점에서 연속이다.

구별 기준을 거꾸로 적용하는 훈련도 진행했다. “구멍 불연속”이라는 결론이 나오려면 먼저 좌극한과 우극한이 같은 값이어야 하고, 그 공통값과 함숫값이 달라야 한다. 예를 들어

$g\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-1}{x-1}& x\ne 1\\ 5& x=1\end{array}$

에서 x≠1일 때 분수는 x+1로 정리되므로 좌극한과 우극한은 모두 2이다. 하지만 g(1)=5이므로 x=1은 구멍 불연속이다. 이처럼 분류 결과에서 역으로 좌우극한과 함숫값의 관계를 복원하면, 점프와 구멍을 같은 방식으로 처리하는 오류를 줄일 수 있다.

경계가 음수로 옮겨졌을 때도 같은 판단을 하는가

새 문항에서는 경계값을 양수 1에서 음수 −1로 바꾸었다.

$h\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}-x+1& x<-1\\ 7& x=-1\\ 2x+5& x>-1\end{array}$

왼쪽 값은 −(−1)+1=2, 오른쪽 값은 2(−1)+5=3이다. 따라서 h(−1)=7이라는 함숫값과 관계없이 좌우극한이 달라 점프 불연속이다. 조건의 부호가 바뀌어도 먼저 좌우극한을 따로 적고, 그다음 함숫값을 비교했다면 같은 분류 기준을 유지할 수 있다.