오전동고1수학과외, 합성함수 값에서 안쪽 함수값을 거꾸로 찾는 법
모락고등학교의 학교 프린트와 지필평가 범위를 함께 정리할 때는 합성함수의 계산 순서를 식으로만 외우지 않아야 한다. 특히 평일 귀가 후 짧은 시간에 문제를 풀면 왼쪽에 먼저 보이는 함수부터 계산하는 실수가 나타나기 쉽다.
13이라는 값에서 출발해 안쪽 값을 찾기
예를 들어
f(x)=2x-1, g(x)=x²+3
일 때 (f∘g)(x)=13이라고 하자. 합성함수의 정의에 따라
(f∘g)(x)=f(g(x))
이므로 먼저 안쪽 값 g(x)를 하나의 수로 두면 된다. f(u)=13으로 놓으면
2u-1=13 → 2u=14 → u=7
따라서 g(x)=7이고, 이어서
x²+3=7 → x²=4 → x=±2
가 된다. 실제로 g(2)=7, g(-2)=7이며 f(7)=13이므로 두 값 모두 조건을 만족한다.
왼쪽 함수를 먼저 적용한 풀이에서 생긴 오류
수업 중 이 문제를 푼 학생은 합성 기호의 왼쪽 함수 f를 먼저 계산해 g(f(2))를 만들었다. f(2)=3, g(3)=12이므로 이 계산 자체는 맞지만, 문제의 합성함수는 f∘g이므로 계산 대상이 달라졌다.
f∘g=f(g(x))이고, g∘f=g(f(x))이다.
따라서 12는 f∘g의 값이 아니라 g∘f에서 x=2일 때의 값이다. 여백에 순서 확인 흔적을 남기지 않았기 때문에 식의 모양만 보고 함수 적용 방향을 바꾼 장면이다.
번호를 붙여 대입 순서를 고정하기
합성함수 값이 주어지면 식의 바깥쪽부터 역으로 추적하되, 실제 대입은 안쪽부터 번호를 붙인다.
- ① g(x)를 먼저 계산한다.
- ② 그 결과를 f에 넣어 f(g(x))를 만든다.
- ③ 최종값이 주어졌다면 f의 입력값을 먼저 구한 뒤 g(x)를 푼다.
위 예에서는 f의 입력값을 u로 두어 2u-1=13을 해결한 뒤, u=7을 g(x)에 연결했다. 이 방식은 x를 곧바로 찾으려다 중간 함수값을 건너뛰는 오류를 막아 준다.
표현이 바뀌어도 확인할 것은 함수의 입력값
같은 문제를 즉시 반복하는 대신 계수를 바꾼 문항으로 확인할 수 있다. 예를 들어
f(t)=3t+2, g(x)=x-4, (f∘g)(x)=11
이라면 f의 입력값을 u로 두고
3u+2=11 → u=3
을 먼저 구한다. 이어서 g(x)=3이므로
x-4=3 → x=7
이다. 학생이 식의 항 순서나 문항의 배치가 달라져도 ‘최종값 → 바깥 함수의 입력값 → 안쪽 함수의 미지수’ 순서를 스스로 적는지 살핀다.
조건이 추가된 서술형에서 확인할 점
서술형 문항에 x>0 같은 조건이 추가되면 앞의 결과 x=±2 중 x=2만 선택해야 한다. 반대로 조건이 x<0이면 x=-2를 택한다. 함수값을 역으로 찾는 과정과 해의 조건을 따로 확인해야 최종 답의 범위가 맞는다.
문제의 도식이나 전개 배치가 달라져도 합성함수 문항에서는 도형의 위치보다 어느 함수의 출력이 다음 함수의 입력이 되는지를 추적해야 한다. 만약 전개도에서 마주 보는 면과 이웃한 면을 묻는 조건으로 바뀐다면 이는 합성함수 검증 문항이 아니므로 별도의 도형 조건으로 판단해야 한다. 합성함수의 학습 여부는 바뀐 조건에서도 f(g(x))의 입력 연결을 정확히 표시하고, 수행평가와 지필평가에 공통으로 쓰이는 함수 합성 개념을 설명하는지로 확인한다.