오전동 고3 수학과외: 평면 계수 변화에 흔들리지 않는 공간 거리 풀이
오전동의 모락고등학교 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 조정하면서 공간도형 단원의 좌표 문제를 복습했다. 같은 의왕시의 백운고등학교, 우성고등학교, 의왕고등학교, 경기외국어고등학교는 참고 생활권으로만 구분하고, 학생의 학습 계획은 모락고등학교 일정에 맞추어 세웠다. 동백아파트와 성원아파트 인근에서 귀가한 뒤에는 긴 문제를 많이 풀기보다 한 문항의 조건과 계산 근거를 말로 확인하는 방식으로 진행했다.
부호보다 먼저 확인할 것은 평면의 계수였다
문제에서 점 \(P(1,-2,3)\)과 평면
\(2x-y+2z-6=0\)
사이의 거리를 구하게 했다. 점과 평면 사이의 거리는 평면의 계수와 상수항을 모두 사용하여
\(\displaystyle d=\frac{|2\cdot1+(-1)(-2)+2\cdot3-6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\)
로 계산해야 한다. 따라서 분자는 \(|2+2+6-6|=4\), 분모는 \(\sqrt{4+1+4}=3\)이므로
\(\displaystyle d=\frac43\)
이다.
학생은 계수가 바뀐 다음 문항에서도 이전 문제의 분모를 그대로 사용했다.
학생의 오답: 평면 \(3x+2y+2z-5=0\)에서 분모를 이전과 같이 \(\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3\)으로 두고, 거리 \(=\frac{|3+(-4)+6-5|}{3}=\frac23\)으로 계산함.
이 식은 틀렸다. 분모는 점의 좌표나 상수항이 아니라 현재 평면의 법선벡터 \((3,2,2)\)에서 정해진다. 그러므로 새 분모는
\(\sqrt{3^2+2^2+2^2}=\sqrt{17}\)
이어야 한다. 실제 거리는
\(\displaystyle \frac{|3\cdot1+2(-2)+2\cdot3-5|}{\sqrt{17}}=\frac{|3-4+6-5|}{\sqrt{17}}=0\)
이다. 점 \(P\)가 새 평면 위에 있으므로 거리가 0이라는 사실도 식의 결과와 일치한다.
오답 줄을 표시하고 원조건으로 되돌리기
- 틀린 줄 표시: 새 평면의 분모를 이전 평면의 \(3\)으로 사용한 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: \(ax+by+cz+d=0\)에서 분모는 항상 \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), 즉 현재 평면의 법선벡터 크기임을 화살표로 연결한다.
- 식 수정: \(3x+2y+2z-5=0\)이므로 분모를 \(\sqrt{17}\)로 바꾼다.
- 재대입: \(P(1,-2,3)\)을 평면식에 넣어 \(3-4+6-5=0\)인지 확인한다.
이 과정을 통해 학생은 부호가 반대로 나타나도 곧바로 해설을 찾지 않고, 먼저 현재 평면의 계수와 점의 좌표를 분리해 확인하기 시작했다. 평면식을 \(-3x-2y-2z+5=0\)으로 바꾸어도 같은 평면이므로 분자는 부호만 바뀌고 절댓값 뒤의 거리는 변하지 않는다는 점도 함께 검산했다.
계수를 바꾼 독립 검증
새 문제로 점 \(Q(2,1,-1)\)과 평면
\(x-2y+2z+7=0\)
사이의 거리를 확인했다. 법선벡터는 \((1,-2,2)\)이므로 분모는 \(\sqrt{1+4+4}=3\)이다. 분자는
\(|2-2-2+7|=5\)
이므로 거리는
\(\displaystyle \frac53\)
이다. 이전 문제의 분모를 재사용하지 않고 새 계수로 다시 계산했으며, \(Q\)를 평면식에 대입한 값이 \(5\)이므로 점이 평면 위에 있지 않다는 것도 확인했다. 이처럼 공간에서 점과 평면의 거리를 구할 때는 부호 자체보다 현재 평면의 법선 방향, 계수의 크기, 점의 대입 결과를 차례로 연결해야 불가능한 후보를 정확히 제거할 수 있다.