은평구고2수학과외

은평구 고2수학과외에서 확인하는 거듭제곱의 거듭제곱

은평고등학교, 숭실고등학교, 선정고등학교 등 학교별 지필평가와 주간 학습 일정은 서로 다를 수 있지만, 지수 단원에서는 풀이 한 줄의 기호가 답을 결정한다. 특히 거듭제곱의 거듭제곱을 지수의 곱으로 처리해야 하는데, 학생이 밑과 지수의 조건을 여백에 적지 않으면 곱셈과 덧셈 법칙이 쉽게 뒤섞인다.

지수를 더한 첫 줄에서 생긴 오류

문제 (3²)⁴를 풀면서 학생은 첫 줄에 다음과 같이 적었다.

(3²)⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶

이 식은 같은 밑의 곱을 계산하는 법칙을 거듭제곱의 거듭제곱에 잘못 적용한 것이다. 괄호 안의 3²를 네 번 곱하는 상황이므로

(3²)⁴ = 3²·3²·3²·3² = 3^2+2+2+2 = 3⁸

이다. 따라서 거듭제곱의 거듭제곱에서는 지수를 더하지 않고 곱한다.

(a^m)ⁿ에서 먼저 볼 조건

지수 m과 n이 정수이고 밑 a가 실수라면

(a^m)ⁿ = a^mn

으로 정리할 수 있다. 다만 분수 지수나 실수 지수가 포함되면 밑의 범위와 실수값의 존재 여부를 함께 확인해야 한다. 예를 들어 양의 실수 a에서는 실수 지수에 대해서도 법칙을 안정적으로 적용할 수 있지만, 음의 밑에 분수 지수가 나타나면 실수 범위에서 식 자체가 정의되지 않을 수 있다.

따라서 풀이 여백에는 숫자를 계산하기 전에 다음처럼 적는다.

a의 범위: 양수인지 확인 → 바깥 지수와 안쪽 지수의 곱 → 결과 검산

처음 어긋난 기호를 바로 고치는 훈련

같은 유형을 풀 때 모든 계산을 지운 뒤 다시 시작하지 않고, 처음 잘못된 기호에 표시한다. 위 풀이에서는 지수 사이의 +에 표시한 다음 바로 아래에 올바른 중간식을 쓴다.

(3²)⁴ → 3^2×4 = 3⁸

이어서 밑이 양수인 3이므로 실수 계산에 문제가 없음을 확인한다. 반대로 ((-2)³)²에서는 정수 지수만 사용되므로

((-2)³)² = (-2)⁶ = 64

이다. 괄호를 없애고 밑을 -2로 바꾸어 버리면 부호 판단이 달라질 수 있으므로, 밑과 지수를 함께 보존해야 한다.

불필요한 정보가 섞인 식에서 적용하기

다음 식에는 계산에 직접 필요하지 않은 정보가 포함되어 있다.

[(5²)³] × 7⁰ = ?

먼저 거듭제곱의 거듭제곱에 해당하는 부분만 골라

(5²)³ = 5^2×3 = 5⁶

으로 쓰고, 7⁰=1을 이용하면 전체 값은 5⁶이다. 여기서 7⁰은 밑 7이 0이 아니므로 1이지만, 괄호 안 지수를 처리하는 방식에는 영향을 주지 않는다.

새로운 식 ((2³)²)²에서는 안쪽부터 조건과 지수를 확인한다.

((2³)²)² = (2⁶)² = 2¹²

이때 풀이가 유지되었다고 판단하려면 2×3과 6×2를 각각 적고, 불필요한 정보 없이 필요한 조건인 양의 밑 2만 확인했는지까지 답안에서 확인해야 한다.