은평구고3수학과외

은평구 고3 수학과외에서 다루는 수열의 발산 방향 판별

은평구의 신사동·갈현동·녹번동·불광동 등에서 고등학교 내신과 수능을 함께 준비하는 학생들은 수열의 극한을 계산한 뒤 답을 기호로 정확히 표현해야 한다. 특히 무한대로 발산하는 수열은 단순히 “무한대”라고 쓰는 것이 아니라 양의 무한대인지 음의 무한대인지, 또는 방향이 일정하지 않은지를 먼저 판단해야 한다.

‘무한대’만 적은 풀이에서 빠진 조건

학생은 다음 수열을 보고 계산 끝에 답을 다음처럼 적었다.

a_n=n²

n이 커지면 a_n도 커지므로 a_n은 무한대

이 답은 방향을 표시하지 않아 불완전하다. 모든 자연수 n에 대해 n²≥0이고, n이 한없이 커질 때 n²도 양의 방향으로 커지므로 정확한 결론은 다음과 같다.

lim_n→∞ n²=+∞

‘무한대’라는 표현만으로는 값이 양의 방향으로 커지는지, 음의 방향으로 작아지는지 구분할 수 없다. 따라서 이 문제에서 학생의 오답은 ∞ 앞에 방향 기호를 생략한 것이다.

첫 번째 틀린 줄부터 고치는 과정

• 틀린 줄 표시: “a_n은 무한대”에 밑줄을 긋는다.
• 조건 확인: n은 자연수이고 n→∞이므로 n은 양수 방향으로 커진다.
• 변수 관계 확인: a_n=n²는 n의 제곱이므로 n이 커질수록 항상 양수 방향으로 증가한다.
• 식 수정: “a_n→+∞” 또는 “lim_n→∞a_n=+∞”로 고친다.
• 검산: a₁₀=100, a₁₀₀=10,000, a₁₀₀₀=1,000,000이므로 항의 부호와 크기가 모두 양의 방향임을 확인한다.

같은 방식으로 계수의 부호도 확인해야 한다. 예를 들어

b_n=−3n²+2

에서는 n²이 커지지만 앞의 계수가 −3이므로 전체 항은 음의 방향으로 작아진다.

lim_n→∞(−3n²+2)=−∞

학생이 이를 “∞”라고만 적었다면 계수의 부호와 수열의 발산 방향을 연결하지 못한 것이다. 실제 풀이에서는 최고차항 −3n²의 부호를 먼저 표시한 뒤 결론을 작성하게 한다.

조건이 충분한지 확인하기

모든 발산 수열이 한 방향으로 발산하는 것은 아니다. 다음 수열을 보자.

c_n=(−1)ⁿn

짝수 n에서는 c_n=n이므로 양의 방향으로 커지고, 홀수 n에서는 c_n=−n이므로 음의 방향으로 작아진다. 따라서

lim_n→∞(−1)ⁿn

은 +∞도 −∞도 아니다. 부호가 번갈아 바뀌므로 하나의 발산 방향을 정할 수 없고, 실수의 의미에서 극한이 존재하지 않는다. “항의 절댓값이 커진다”는 사실만으로 +∞라고 결론 내리면 안 된다.

바꾼 조건으로 독립 검증하기

수정한 기준이 다른 형태에서도 적용되는지 다음 문제로 확인한다.

d_n=−(n−4)²+1일 때 lim_n→∞d_n을 판단하여라.

(n−4)²는 n이 커질수록 양의 방향으로 커지고, 그 앞에 −가 있으므로 d_n은 음의 방향으로 발산한다. 실제로

d_n=−n²+8n−15

이고 최고차항이 −n²이므로

lim_n→∞{−(n−4)²+1}=−∞

이다. 예를 들어 d₁₀=−35, d₂₀=−255로 음의 방향으로 값이 작아지는 것도 대입으로 확인할 수 있다. 초기항과 식의 모양이 달라져도 최고차항의 부호, 부호 변화 여부, n의 범위를 차례로 확인하면 발산 방향을 정확히 재현할 수 있다.