은평구고1수학과외, 기준 문자를 정한 뒤 최고차항을 역검산하기
은평고등학교, 숭실고등학교, 선정고등학교 등 은평구의 학교에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 다룰 때 다항식의 차수를 묻는 문항이 자주 계산 과정에 섞여 나온다. 신사동·갈현동·불광동·구파발 등 생활권과 학교별 주간 일정은 다를 수 있지만, 이 문제에서 먼저 확인할 것은 풀이 속 기준 문자와 계산 결과의 최고차항이다.
가장 큰 지수만 보고 차수를 정한 오답
다음 곱셈을 계산한다고 하자.
(2x2 - 3x + 1)(x - 4)
한 답안에는 첫 번째 식의 최고 지수가 2이고 두 번째 식의 최고 지수가 1이라는 이유로 “차수는 2”라고 적혀 있었다. 또 전개 과정에서 2x2 × x = 2x2처럼 지수를 그대로 옮긴 흔적도 보였다. 이는 기준 문자 x를 정하지 않은 채 눈에 보이는 큰 지수만 읽고, 곱셈에서 지수가 어떻게 결합되는지 확인하지 않은 경우다.
곱셈 결과에서 최고차항이 실제로 만들어지는 위치
x에 대한 다항식에서는 각 항의 x 지수를 비교한다. 최고차항끼리 곱하면
2x2 · x = 2x3
이므로 결과의 최고차항 후보는 2x3이다. 전체를 전개하면
(2x2 - 3x + 1)(x - 4)
= 2x3 - 8x2 - 3x2 + 12x + x - 4
= 2x3 - 11x2 + 13x - 4
따라서 x에 대한 차수는 3이다. x3항을 만들 수 있는 것은 2x2와 x의 곱뿐이므로 다른 항과 상쇄될 가능성도 없다. 계산 뒤 결과가 2x3으로 시작하는지 확인하면 처음 예상한 차수 3과 일치한다.
풀이 첫 줄에 남겨야 할 판단
이 학생에게는 전개 공식 전체를 다시 외우게 하기보다, 계산 전에 다음과 같이 적게 했다.
기준 문자: x / 예상 최고차항: 2x2·x = 2x3 / 예상 차수: 3
그 뒤 각 항을 전개하고 마지막 식에서 x의 지수를 내림차순으로 배열한다. 2x3 - 11x2 + 13x - 4를 얻었다면 맨 앞 항의 지수 3이 예상과 맞는지 표시한다. 정답을 맞혔더라도 이 역검산 흔적이 없으면 아직 확인 항목으로 남긴다.
문자가 바뀌면 무엇을 다시 정해야 하는가
문자 자체가 바뀌어도 판단 방법은 같다. 예를 들어
(3a2 + 2a - 5)(2a + 1)
에서는 기준 문자를 a로 정하고 최고차항을 3a2·2a = 6a3으로 예상한다. 실제 전개 결과는
6a3 + 7a2 - 8a - 5
이므로 a에 대한 차수는 3이다. x가 아닌 a를 기준으로 읽어야 하며, 계수 6은 차수가 아니라 최고차항의 계수라는 점도 구분한다.
표로 제시된 새 조건에서 확인하기
훈련 여부는 같은 식을 다시 계산하는 대신, 표의 단위와 조건이 바뀐 자료에서 확인했다. 예를 들어 가로 길이를 t m로 두고 넓이를 다음처럼 나타낸 표가 있다고 하자.
- 가로 길이: t
- 세로 길이: 2t + 3
- 넓이: t(2t + 3)
이때 넓이를 전개하면 2t2 + 3t이므로 t에 대한 차수는 2이다. 학생이 먼저 구할 도형 요소인 가로·세로와 주어진 관계를 연결한 뒤, t를 기준 문자로 표시하고 t·2t = 2t2를 예상하는지 살폈다. 단위를 cm로 바꾼 표가 제시되어도 단위 변환에 끌려가지 않고, 기준 문자와 최고차항의 지수를 같은 방식으로 확인해야 한다.
이후 새로운 자료에서 계산 결과의 최고차항과 예상 차수가 일치하는지 스스로 표시하게 했다. 다음 날 재현하지 못한 문제만 다시 남겨, 차수 판단과 역검산을 실제 풀이의 일부로 정착했는지 확인한다.