응암동고2수학과외에서 다루는 일반각과 회전 방향의 삼각함수 판단
응암동에는 충암고등학교와 신진과학기술고등학교가 있고, 같은 은평구의 숭실고등학교·선정고등학교·동명여자고등학교 등은 참고 학교로 구분된다. 학교별 내신 일정과 주간 학습량은 다르지만, 삼각함수 변형문제에서는 풀이를 외운 순서보다 회전 방향을 먼저 해석하는지가 중요하다.
−π/3을 어느 방향으로 읽었는가
문제에서 단위원 위의 점이 원점에서 시작해 시계 방향으로 π/3만큼 회전했다고 하자. 이를 일반각으로 나타내면
θ = −π/3
이다. 반시계 방향을 양의 방향으로 정했기 때문에 시계 방향 회전은 음수로 표시한다. 따라서 단위원의 대응점은
(cos θ, sin θ) = (cos(−π/3), sin(−π/3)) = (1/2, −√3/2)
가 된다. 첫 풀이 줄에 −π/3을 적고도 이를 반시계 방향의 양의 각처럼 표시하면, 각의 크기만 본 채 회전 방향을 놓친 것이다. 그 결과 y좌표인 사인값의 부호가 바뀐다.
단위원을 다시 세우지 않을 때 생기는 부호 오류
학생의 풀이에는 다음과 같은 표시가 남았다.
−π/3 → 제4사분면이므로 sin(−π/3)=√3/2
제4사분면에서 사인이 음수라는 사실과 결론이 서로 맞지 않는다. 정확한 값은
sin(−π/3)=−sin(π/3)=−√3/2
이다. 이 문제에서 필요한 순서는 숫자 π/3을 기억하는 것이 아니라, 음의 각을 단위원에 표시하고 종착점의 사분면을 확인하는 것이다. 같은 방식으로
cos(−θ)=cos θ, sin(−θ)=−sin θ
라는 관계도 회전 방향에서 직접 확인할 수 있다. x좌표는 좌우 대칭으로 변하지 않지만 y좌표는 부호가 반대가 된다.
오류가 시작된 줄에서만 다시 이어서 쓰기
풀이 전체를 처음부터 베껴 쓰기보다 방향을 잘못 표시한 줄에 다음 세 가지를 덧붙인다.
- 양의 회전 방향을 반시계 방향으로 표시한다.
- −π/3을 시계 방향 π/3으로 바꾸어 단위원에 점을 찍는다.
- 종착점의 좌표에서 사인과 코사인의 부호를 각각 읽는다.
따라서 수정된 줄은 다음과 같이 남길 수 있다.
θ=−π/3, 제4사분면 → cos θ=1/2, sin θ=−√3/2
이후 계수나 표현이 달라져도 같은 판단을 적용해야 한다. 예를 들어 회전각이 −5π/6이면 제3사분면에 놓이므로
cos(−5π/6)=−√3/2, sin(−5π/6)=−1/2
이다. − 기호를 단순히 없애고 π/6의 값만 가져오면 두 부호를 모두 잘못 판단하게 된다.
그래프 방향을 반대로 바꾼 뒤의 확인
새 조건으로 함수가 y=sin(−x)로 주어졌다고 하자. 이는
y=−sin x
와 같으므로, 0<x<π/2에서 sin x가 증가하는 것과 반대로 y=sin(−x)는 감소한다. 실제로
x=0일 때 y=0, x=π/6일 때 y=−1/2, x=π/2일 때 y=−1
이므로 함수값이 내려간다. 새로운 문제에서 학생이 먼저 −x를 양의 반시계 회전으로 표시하지 않고 증가한다고 판단한다면, 회전 방향과 그래프 방향을 아직 연결하지 못한 것이다. 부호가 바뀐 식에서도 단위원의 방향, 종착 사분면, 함수값의 변화를 차례로 확인해야 한다.