응암동 고3 수학과외에서 다룬 정적분의 조건 판단
응암동의 충암고등학교와 신진과학기술고등학교, 은평구 내 참고 학교 학생들은 학교별 일정에 따라 문제를 정리하는 시간이 달라질 수 있다. 이 학생은 계산 속도보다 정적분 조건을 해석하고 답의 자격을 확인하는 과정에서 자주 멈췄다.
절댓값 안쪽의 위치부터 판단하기
다음 조건에서 실수 \(a\)를 구한다고 하자.
\(\displaystyle \int_{-1}^{1}|x-a|\,dx=3\)
학생은 절댓값의 영점 \(x=a\)가 구간 안에 있는지 확인하지 않고, 직전 문제의 식을 그대로 옮겨 다음과 같이 적었다.
학생의 오답: \(\displaystyle \int_{-1}^{1}|x-a|\,dx=a^2+1\), 따라서 \(a^2+1=3\), \(a=\pm\sqrt2\)
이 식은 \( -1\le a\le1\)일 때만 사용할 수 있다. 그런데 \(\pm\sqrt2\)는 둘 다 그 범위를 벗어나므로, 학생이 사용한 식의 조건과 구한 후보값이 서로 맞지 않는다. 따라서 위 계산은 오답이다.
조건과 식을 화살표로 연결한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 다음처럼 조건을 분리해 적었다.
- \(-1\le a\le1\)이면 \(\displaystyle \int_{-1}^{1}|x-a|dx=a^2+1\)
- \(a\ge1\)이면 \(\displaystyle \int_{-1}^{1}(a-x)dx=2a\)
- \(a\le-1\)이면 \(\displaystyle \int_{-1}^{1}(x-a)dx=-2a\)
이번 문제에서 \(a^2+1=3\)으로 얻은 \(\pm\sqrt2\)는 첫 번째 조건을 만족하지 않으므로 탈락한다. 바깥 구간을 다시 적용하면
\(a\ge1:\ 2a=3\Rightarrow a=\frac32\)
\(a\le-1:\ -2a=3\Rightarrow a=-\frac32\)
따라서 후보는 \(\displaystyle a=\pm\frac32\)이다. 역계산으로 확인하면 \(\left|x-\frac32\right|\)는 \([-1,1]\)에서 항상 \(\frac32-x\)이므로
\(\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(\frac32-x\right)dx=3\)
이고, \(a=-\frac32\)일 때도 \(\displaystyle \int_{-1}^{1}(x+\frac32)dx=3\)이므로 두 값 모두 원식에 맞는다.
구간 방향을 바꾼 독립 검증
같은 절댓값 구조를 반복하지 않도록 영점과 구간을 바꾸어 다음 식을 확인했다.
\(\displaystyle \int_{3}^{-1}|x-2|\,dx\)
먼저 구간 방향을 화살표로 표시하면
\(\displaystyle \int_{3}^{-1}|x-2|dx=-\int_{-1}^{3}|x-2|dx\)
이다. \(x=2\)에서 절댓값의 부호가 바뀌므로
\(\displaystyle \int_{-1}^{3}|x-2|dx=\int_{-1}^{2}(2-x)dx+\int_{2}^{3}(x-2)dx=\frac92+\frac12=5\)
따라서 정답은 \(\displaystyle -5\)이다. 학생이 처음처럼 구간 방향을 무시하고 \(+5\)라고 적었다면, 잘못된 조건을 바로잡은 다음 줄에 반드시 \(\displaystyle \int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx\)를 적용해야 한다.
마지막 원식 검산
계산이 끝난 뒤에는 절댓값의 영점, 구간 방향, 후보값의 범위를 차례로 확인한다. 이 학생은 이제 숫자를 복사하기보다 “영점이 구간 안에 있는가”, “상한과 하한의 방향은 어떤가”를 먼저 표시한 뒤 정적분을 계산하고 있다.