응암동고1수학과외, 단계별 선택을 곱셈식으로 연결하기
응암동에서 고등학교 수학을 공부할 때에는 학교 프린트의 경우의 수 문제를 단순 계산으로 넘기지 않고, 선택의 각 단계가 식의 어느 부분에 대응하는지 적어 보는 과정이 필요하다. 응암동 내 충암고등학교와 신진과학기술고등학교, 은평구 내 참고 학교인 숭실고등학교·선정고등학교·동명여자고등학교는 서로 다른 일정과 학습 자료를 사용할 수 있으므로, 특정 학교의 경향으로 일반화하기보다 학생이 실제로 작성한 풀이를 기준으로 확인해야 한다.
3×4 뒤에 왜 다시 곱해야 하는가
상의 3가지, 바지 4가지, 운동화 2가지를 각각 하나씩 고르는 경우를 생각해 보자. 상의를 고르는 방법마다 바지를 고르는 방법이 4가지씩 가능하므로 먼저
3×4=12
가 된다. 여기에 각 조합마다 운동화 2가지를 선택할 수 있으므로 전체 경우의 수는
(3×4)×2=12×2=24
이다. 단계가 이어지고, 앞 단계의 각각의 선택마다 뒤 단계의 선택 수가 반복되면 가능한 수를 더하는 것이 아니라 곱한다.
풀이 줄을 건너뛴 자리에서 생긴 오답
관찰된 답안에는 3과 4를 곱한 흔적도, 그 결과에 2를 적용한 흔적도 표시되지 않은 채 다음 계산으로 넘어가 있었다. 오답표에는 ‘단계별 가능한 수 곱하기’가 누락된 것으로 기록되었다. 이 경우 단순 계산 실수라고 보기 어렵다. 선택 단계를 식으로 옮기는 개념 표현이 빠졌는지, 조건을 잘못 읽었는지, 곱셈 계산에서 틀렸는지, 풀이를 적는 표현만 생략했는지를 나누어야 한다.
- 문제의 선택 단계 자체를 나누지 못했다면 개념 오류
- 운동화는 반드시 하나를 고르는 조건을 놓쳤다면 조건 오류
- (3×4)×2를 24가 아닌 다른 수로 계산했다면 계산 오류
- 식은 세웠지만 중간 줄만 생략했다면 표현 오류
빠진 줄부터 다시 세우는 방식
수정할 때는 답만 고치지 않고, 누락된 위치에 표시를 한 뒤 그 줄부터 다시 쓴다.
상의 선택: 3가지
바지 선택: 각 상의마다 4가지
운동화 선택: 각 상의와 바지 조합마다 2가지
따라서
3×4×2=24
로 정리한다. 첫 두 단계만 묶어 쓰면 (3×4)×2이고, 뒤 두 단계를 묶어도 3×(4×2)이므로 결과는 모두 24이다. 이 식을 적으면 각각의 숫자가 어느 선택 단계에서 나온 것인지 확인할 수 있다.
괄호가 바뀐 식으로 확인한 적용
같은 옷 문제를 반복하지 않고, 메뉴 선택으로 바꾸어 확인한다. 식사 메뉴 2가지와 음료 3가지, 후식 4가지를 하나씩 고르는 경우는
2×(3×4)=24
이다. 괄호가 뒤쪽에 놓였지만 세 단계가 모두 이어지는 선택이므로 곱셈을 유지한다. 반면 ‘세트 메뉴 2가지 중 하나를 고르거나, 단품 음료 3가지와 후식 4가지를 함께 고르는’ 경우라면 선택 구조가 다르므로
2+(3×4)=14
가 된다. 괄호의 위치는 계산 순서뿐 아니라 문제의 선택 관계를 나타내므로, 숫자만 보고 무조건 곱하지 않아야 한다.
오답표에 남길 한 문장
다음 문제를 풀 때에는 식을 계산하기 전에 ‘각 단계의 선택이 앞 단계의 모든 경우에 반복되는가’를 적는다. 반복되면 곱셈으로 연결하고, 둘 중 하나를 고르는 구조라면 덧셈인지 구분한다. 이후 오류를 개념·조건·계산·표현 중 하나로 표시해, 빠진 단계부터 다시 썼는지와 괄호가 나타내는 선택 구조를 설명할 수 있는지를 함께 확인한다.