불광동고2수학과외

불광동 고2수학과외: 로그부등식에서 정의조건과 해의 교집합 확인하기

불광동의 세명컴퓨터고등학교와 은평구 내 숭실고등학교·선정고등학교·충암고등학교·동명여자고등학교는 학교별 수업과 평가 일정이 다를 수 있다. 따라서 로그부등식 풀이도 정답만 적기보다, 제한된 주간 학습 시간 안에 정의조건과 계산 결과를 한 줄로 연결하는 과정이 필요하다.

x>0과 x≤4는 따로 적는 조건이 아니다

다음 부등식을 풀어 보자.

log₂x≤2

밑 2는 0보다 크고 1이 아니므로 로그함수는 증가한다. 먼저 진수조건을 적으면

x>0

이고, 부등식을 계산하면

x≤2²=4

를 얻는다. 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 최종 해는 교집합이다.

따라서 해는 0<x≤4이다. x>0과 x≤4를 나란히 답처럼 적으면 교집합을 표현하지 못한다. 예를 들어 x=5는 x>0을 만족하지만 x≤4를 만족하지 않으므로 해가 아니다.

경계값은 포함 여부까지 수직선에서 확인한다

이때 x=0은 로그의 진수가 0이 되어 허용되지 않는다. 반면 x=4에서는 log₂4=2이므로 등호가 포함된다. 그러므로 수직선에는 0에 열린 점, 4에 닫힌 점을 표시하고 그 사이를 칠한다.

풀이 여백에는 다음처럼 조건과 계산 결과를 한 줄로 합쳐 적는다.

x>0, x≤4 ⟹ 0<x≤4

밑이 1/2이면 부등호 방향과 교집합을 함께 바꾼다

새로운 조건에서 같은 판단이 유지되는지 다음 문제로 확인한다.

log_1/2(2x−1)>−1

진수조건은

2x−1>0 ⟹ x>1/2

이다. 밑 1/2는 0보다 크고 1보다 작으므로 로그함수는 감소한다. 따라서

log_1/2(2x−1)>−1

에서 부등호 방향이 바뀌어

0<2x−1<(1/2)⁻¹=2

가 된다. 이를 풀면

1/2<x<3/2

이고, 이는 진수조건과 이미 교집합을 이룬 결과다. x=1/2에서는 진수가 0이므로 제외하고, x=3/2에서는 로그값이 −1이 되어 원래 부등식이 엄격하므로 제외한다.

마지막 문제에서 풀이 줄이 x>1/2, x<3/2처럼 따로 남아 있지 않고 1/2<x<3/2로 합쳐졌는지, 밑이 1/2라는 이유로 부등호를 뒤집었는지 확인한다. 계수와 부호가 달라져도 정의조건, 계산 결과, 교집합을 하나의 해 범위로 표현해야 한다.