불광동고3수학과외

불광동 고3 수학과외: 초기조건이 바뀐 적분식에서 상수 다시 정하기

불광동에는 세명컴퓨터고등학교가 있고, 같은 은평구의 숭실고등학교·선정고등학교·충암고등학교·동명여자고등학교는 별도의 통학 생활권으로 참고할 수 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다르므로, 이번에는 힌트 없이 조건을 읽고 적분상수를 독립적으로 정하는 연습에 집중했다.

이전 풀이의 숫자를 버리고 초기조건부터 확인하기

학생은 다음 식을 먼저 풀었다.

y'(x)=3x²-4x+1,   y(2)=5

양변을 적분하면

y=x³-2x²+x+C

초기조건을 대입하면

5=8-8+2+C=2+C

따라서 C=3이고, 해는 y=x³-2x²+x+3이다.

그런데 함수와 조건을 모두 바꾼 다음 문제에서 학생은 이전 상수를 그대로 사용했다.

y'(x)=2x-3,   y(1)=4

학생의 오답은 다음과 같다.

y=x²-3x+C → 이전 문제의 C=3을 사용 → y=x²-3x+3

이 식은 y(1)=1-3+3=1이므로 주어진 초기조건 4를 만족하지 않는다. 적분상수는 미분할 때 사라지는 값이지만, 초기조건이 달라지면 다시 정해야 한다.

틀린 줄을 표시하고 부호를 따로 계산한 수정 과정

• 틀린 줄 표시: “C=3 재사용”에 밑줄을 긋는다.
• 관계 확인: 이번 조건점은 x=1이고, y(1)=4이다.
• 식 수정: y=x²-3x+C에 x=1을 대입한다.
• 부호 계산: 4=1-3+C=-2+C이므로 C=6이다.
• 검산: y=x²-3x+6에서 y(1)=1-3+6=4, y'=2x-3이다.

학생은 원식과 변형식을 두 줄로 나란히 적었다.

이전: y=x³-2x²+x+C, 조건 y(2)=5, C=3
변형: y=x²-3x+C, 조건 y(1)=4, C=6

이 비교를 통해 함수식, 조건점, 함수값 중 하나라도 바뀌면 적분상수를 새로 계산해야 한다는 점을 확인했다.

조건점을 바꾼 독립 검증

직전 풀이를 보지 않고 다음 문제를 새로 해결했다.

y'(x)=-6x²+4x+1,   y(1)=-2

적분하면

y=-2x³+2x²+x+C

x=1을 대입하면 -2= -2+2+1+C=1+C이므로 C=-3이다.

최종식은 y=-2x³+2x²+x-3이며, 미분하면 -6x²+4x+1, x=1을 대입하면 -2가 되어 두 조건을 모두 만족한다.