불광동고1수학과외, 이차부등식의 경계와 부호표 세우기
불광동의 세명컴퓨터고등학교에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 학교 프린트를 정리할 때, 이차부등식은 근만 구하고 끝내면 해를 놓치기 쉽다. 특히 계수와 근이 달라진 문제에서는 근 사이인지 바깥인지의 부호를 직접 확인해야 한다.
근을 구했지만 해의 방향을 뒤집은 풀이
다음 부등식을 풀어 보자.
2x2 - 5x - 3 ≤ 0
인수분해하면
(2x+1)(x-3) ≤ 0
따라서 경계가 되는 값은 x=-½, 3이다. 그런데 학생은 근만 적은 뒤 부호표를 만들지 않고, “바깥쪽에서 곱이 음수”라고 판단하여 x ≤ -½ 또는 x ≥ 3이라고 답했다. 이는 이차항의 계수가 양수일 때 양 끝 구간의 부호가 양수라는 점을 반대로 적용한 오답이다.
계수의 부호가 구간의 부호를 결정한다
수직선에 두 경계값을 왼쪽부터 표시한다.
- x < -½
- -\frac12 < x < 3
- x > 3
각 구간에서 인수의 부호를 확인하면 다음과 같다.
- x=-1일 때, (2x+1)(x-3)=(-)(-)이므로 양수
- x=0일 때, (2x+1)(x-3)=(+)(-)이므로 음수
- x=4일 때, (2x+1)(x-3)=(+)(+)이므로 양수
부등식의 조건은 0 이하이므로 음수인 가운데 구간과 두 근을 포함한다. 따라서 해는 -\frac12 ≤ x ≤ 3이다. 양의 이차항을 가진 식은 두 근을 기준으로 바깥쪽에서 양수, 근 사이에서 음수가 되는 구조를 먼저 확인할 수 있지만, 부호표를 직접 작성하면 계수가 바뀐 문제에서도 같은 판단을 재현할 수 있다.
여백에 남길 것은 정답이 아니라 판단 순서다
학생이 근을 구한 뒤 바로 답을 고르는 행동은 경계와 구간의 연결이 아직 굳지 않았다는 신호다. 풀이 옆에는 다음 네 줄만 남기도록 한다.
- 경계값을 작은 순서로 배열한다.
- 경계값으로 수직선을 나눈다.
- 각 구간에서 두 인수의 부호를 확인한다.
- 부등호 조건에 맞는 구간과 경계 포함 여부를 고른다.
예를 들어 등호가 없는 (2x+1)(x-3) < 0이라면 근은 포함하지 않으므로 -\frac12 < x < 3으로 바뀐다. 해집합을 적기 전에 부등호가 <인지 ≤인지 다시 대조해야 한다.
숫자를 바꾸면 부호표를 스스로 다시 세우는가
같은 식을 반복하지 않고 다음 문항을 제시한다.
-3x2 + 7x + 6 > 0
인수분해하면
-3x2 + 7x + 6 = -(3x+2)(x-3)
경계값은 -\frac23, 3이다. 학생이 먼저 세 구간을 만들고 시험값을 넣으면, x=0에서 식의 값은 6으로 양수이고 양 끝 구간에서는 음수가 된다. 따라서 조건을 만족하는 해는 근 사이인 -\frac23 < x < 3이다.
이때 교사가 부호표의 순서를 미리 알려 주지 않고, 학생이 경계값 배열부터 부호 확인, 해 선택까지 이어 가는지 본다. 정답만 맞힌 경우가 아니라 부호표를 새로 구성했을 때 검증을 통과한 것으로 기록한다.
복습 목록에서 뺄지 판단하는 짧은 점검
이차부등식 문항을 해결했다는 이유만으로 관련 문제를 모두 복습 목록에서 제거하지 않는다. 중2 수준의 맛보기 문제로 3(x-2)-5 ≥ 7을 제시해 문자식 정리와 일차방정식의 기본 조작을 확인한다. 풀이가 안정적이면 이차부등식의 부호표 훈련을 이어 가고, 괄호를 풀거나 음수를 이항하는 과정에서 막히면 선행 문제보다 현행 문자식·방정식 보완을 먼저 배치한다.
불광동 생활권에서 학교별 주간 일정과 귀가 시간이 다르더라도, 한 문항을 마친 기준은 답을 적은 순간이 아니다. 계수와 경계가 달라진 부등식에서 수직선을 나누고, 구간별 부호를 확인한 뒤 조건에 맞는 해를 스스로 선택했을 때 비로소 해당 판단을 복습 목록에서 줄일 수 있다.