갈현동고2수학과외

갈현동고2수학과외에서 다루는 로그부등식의 정의조건과 해의 교집합

갈현동미미아파트처럼 학교까지의 이동 시간이 다른 생활권에서는 풀이를 끝내는 방식도 학생마다 달라질 수 있다. 선정고등학교, 대성고등학교, 선일여자고등학교 등 갈현동 소재 학교의 프린트나 지필평가를 풀 때도 로그부등식은 계산보다 정의조건과 계산 결과를 마지막에 연결하는 과정이 중요하다. 같은 은평구의 숭실고등학교는 참고 학교일 뿐 갈현동 소재 학교와 구분해야 하며, 학습 시간의 차이와 관계없이 답안의 논리는 동일해야 한다.

x>0과 x≤4를 따로 적은 순간

문제는 다음과 같다.

log₂x ≤ 2

로그의 진수 조건부터 쓰면 x>0이다. 밑 2는 1보다 크므로 로그함수는 증가한다. 따라서 부등식의 계산 결과는

log₂x ≤ log₂4 → x≤4

가 된다. 이때 학생이 답안에

x>0, x≤4

라고 각각 적었다면 아직 답이 완성되지 않았다. 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 수직선에서 공통 부분을 찾아 0<x≤4, 즉 (0, 4]로 정리해야 한다. 정의조건은 풀이 앞부분에만 등장하는 장식이 아니라 계산으로 얻은 해를 걸러 내는 기준이다.

조건·계산·검산을 분리해 오류 위치 찾기

재풀이에서는 답안을 세 칸으로 나눈다.

오류가 조건 칸에 생겼는지, 로그의 증가·감소 판단을 포함한 계산 칸에 생겼는지, 마지막 교집합을 빠뜨린 검산 칸에 생겼는지를 표시한다. 위 사례에서는 조건과 계산은 맞지만 검산 칸에서 두 조건을 별개로 남긴 것이 문제다. 따라서 전체 단원을 처음부터 다시 푸는 대신 검산 칸에 x∈(0,∞)∩(-∞,4]=(0,4]를 직접 써서 수정한다.

밑이 1보다 작아져도 교집합을 유지하는가

새 조건에서는 식을 다음과 같이 바꾼다.

log_1/2(x−1) > −1

먼저 밑 조건은 0<1/2≠1로 성립하고, 진수 조건은 x−1>0, 따라서 x>1이다. 밑이 1/2이므로 로그함수는 감소한다. 그러므로

log_1/2(x−1) > log_1/22

에서 부등호를 그대로 계산하면 안 된다. −1=log_1/22이므로 감소함수의 성질에 따라

x−1 < 2 → x<3

을 얻는다. 정의조건과 계산 결과의 교집합은

x>1 ∩ x<3 → 1<x<3

이다. 새로운 식에서도 조건을 먼저 세우고, 밑에 따른 방향을 판단한 뒤, 마지막에 두 범위를 하나의 답으로 합쳤는지가 확인되어야 한다. 정답을 맞히는 것만으로는 부족하며, 답안에 정의조건이 남아 있고 교집합 과정이 드러나는지를 검산한다.