갈현동 고3 수학과외에서 적분상수와 초기조건을 함께 고정하기
갈현동의 선정고등학교, 대성고등학교, 선일여자고등학교 등 학교와 갈현동미미아파트 같은 주거지 사이의 이동 시간은 학생마다 다르다. 그래서 수업에서는 남은 시간에 맞춰 계산량을 늘리기보다, 반복되는 풀이 습관을 한 단계씩 점검한다. 이번 학생은 적분 계산은 빠르지만 초기조건을 마지막까지 반영하지 않는 문제가 있었다.
적분 결과의 상수는 임의로 남겨 두지 않는다
다음 조건을 풀었다.
F'(x)=3x2-4x+1, F(0)=2
학생은 계산 중 다음과 같이 적었다.
오답: F(x)=x3-2x2+x+C
부정적분 자체는 맞지만, 이 식은 아직 주어진 함수 F를 하나로 정하지 못한 상태다. F(0)=2를 대입하면
F(0)=0-0+0+C=C=2
이므로 C=2여야 한다. 따라서 정확한 답은
F(x)=x3-2x2+x+2
이다. 학생의 오류는 적분 계산이 아니라 초기조건을 사용해 적분상수를 결정하지 않은 데 있다. F'(x)를 다시 미분하면 3x2-4x+1이고, F(0)=2도 만족한다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 식에 연결하기
- 틀린 줄 표시: F(x)=x3-2x2+x+C에서 C를 남겨 둔 부분에 표시한다.
- 조건 확인: F(0)=2는 x=0에서 함수값을 정하는 조건임을 확인한다.
- 식 수정: 03-2·02+0+C=2를 계산해 C=2로 고친다.
- 검산: 수정한 F(x)를 미분해 F'(x)를 확인하고, x=0을 대입해 함수값도 다시 확인한다.
이 과정을 답안의 마지막에 덧붙이는 것이 아니라, 원시함수에 +C를 쓴 직후 조건을 대입하는 순서로 바꾸었다. 초기조건이 주어졌는데도 C를 정하지 않는 행동이 반복되었기 때문에, 풀이 중간에 조건을 박스로 표시하고 정답의 상수항까지 결정한 뒤 다음 줄로 넘어가게 했다.
계수가 달라진 문제로 독립 확인
직전 문제를 보지 않고 다음 변형문제를 새로 풀었다.
G'(x)=4x-6, G(1)=5
먼저 원시함수는
G(x)=2x2-6x+C
이다. 여기서 x=1을 대입하면
2-6+C=5
이므로 C=9이다. 따라서
G(x)=2x2-6x+9
이고, G'(x)=4x-6, G(1)=2-6+9=5로 검산된다. 계수와 초기조건의 위치가 바뀌어도 적분상수를 남기지 않고 결정하는지 확인한 사례다.