갈현동고1수학과외, 두 부등식을 하나의 구간으로 읽는 법
갈현동의 학교 프린트에서 “두 부등식 조건을 하나의 구간으로 표현하기”가 나오면 식의 모양보다 두 조건이 동시에 만족되는 범위를 먼저 찾아야 한다. 선정고등학교·대성고등학교·선일여자고등학교 등 지역 내 학교의 학습 자료를 복습할 때도, 서로 다른 표현을 같은 공통 개념으로 연결하는 과정이 필요하다.
조건을 따로 계산하기 전에 겹치는 범위 찾기
예를 들어 다음 조건을 보자.
−2 < x + 3 ≤ 5
이 식은 사실 두 부등식 −2 < x + 3과 x + 3 ≤ 5를 한 줄에 나타낸 것이다. 양변에서 3을 빼면 두 부등식에 같은 연산이 적용되어
−5 < x ≤ 2
가 된다. 따라서 해는 −5보다 크고 2 이하인 구간이며, 구간으로는 (−5, 2]라고 쓴다. −5에는 괄호를, 2에는 대괄호를 붙이는 이유는 각각 포함되지 않고 포함되기 때문이다.
답안에서 사라진 한 줄
학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
−2 < x + 3 ≤ 5
∴ x ≤ 2
오른쪽 조건에서 3을 빼어 x ≤ 2를 얻은 계산 자체는 맞지만, 왼쪽 조건을 함께 처리한 흔적이 없다. 그래서 −5보다 크다는 제한이 빠졌고, 예를 들어 x = −8을 넣어도 답에 포함되는 잘못된 구간이 되었다. 이 학생은 부등식의 표현이 한 줄로 바뀌자 두 조건이 동시에 존재한다는 사실을 새 유형처럼 받아들였으며, 확인 표시 없이 다음 계산으로 넘어갔다.
괄호 옆에 ‘두 조건’ 표시를 남긴다
오답을 고칠 때는 답을 지우고 처음부터 길게 반복하기보다, 누락된 위치에 표시를 남긴다.
- 첫 번째 조건: −2 < x + 3
- 두 번째 조건: x + 3 ≤ 5
그다음 두 줄에 각각 양변에서 3을 뺀다.
−2 − 3 < x + 3 − 3, 따라서 −5 < x
x + 3 − 3 ≤ 5 − 3, 따라서 x ≤ 2
두 결과를 합치면 −5 < x ≤ 2이다. 여기서 ‘이항했으니 부호가 바뀐다’고 외우기보다, 실제로 양변에 −3을 더한 것이라고 설명해야 한다. 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼면 부등호 방향은 바뀌지 않는다.
초등 계산에서 확인할 것은 연산의 양쪽 적용
−2 − 3을 계산할 때는 −5가 되고, 5 − 3은 2가 된다. 이 간단한 계산을 확인할 때도 한쪽 항만 옮겼다고 말하지 않고, 각 부등식의 양변에 같은 −3을 적용했는지 말하게 한다. 부등호 방향이 바뀌는 경우는 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때이지, 같은 수를 빼는 경우가 아니다.
갈현동미미아파트처럼 귀가 거리가 짧은 생활권의 학생은 학교 프린트 한 문제를 이 방식으로 바로 기록할 수 있지만, 이동 시간이 긴 학생은 짧은 학습 시간에 오답표의 누락된 한 줄만 먼저 표시해도 된다. 같은 은평구의 숭실고등학교는 지역 내 갈현동 소재 학교가 아닌 참고 학교이므로, 학교 위치와 관계없이 여기서 확인할 것은 학생마다 다른 이동 시간이 아니라 조건을 읽고 처리하는 수학적 순서다.
표현을 바꾼 문제에서 다시 확인하기
답지를 보기 전에 다음 문제를 한 번 더 시도한다.
1 ≤ 2x − 3 < 7
먼저 양변에 3을 더하면 4 ≤ 2x < 10이다. 이어서 양변을 2로 나누어 2 ≤ x < 5, 구간으로는 [2, 5)가 된다.
이때 학생이 스스로 두 조건을 분리해 적고, 양변에 같은 연산을 적용했다고 설명하며, 2는 포함되고 5는 포함되지 않는다고 말하는지 기록한다. 같은 식을 다시 맞힌 결과가 아니라 표현과 수가 달라진 문제에서도 빠진 조건을 찾아 구간으로 바꾸는지가 확인 기준이다.