원미구고2수학과외

원미구고2수학과외, 항번호 차이를 빼먹으면 공차가 달라진다

원미동·춘의동·도당동 등에서 학교 수업과 방과후 이동을 마치고 확보한 자습시간에는 등차수열의 계산 과정을 짧게라도 식으로 남기는 연습이 필요하다. 소명여고, 심원고, 상동고 등 학교가 서로 다른 만큼 문제의 숫자와 표현도 달라질 수 있지만, 공차를 구할 때 항번호를 확인해야 한다는 판단은 변하지 않는다.

a₂와 a₅ 사이에는 세 번의 공차가 있다

다음 조건에서 공차를 구해 보자.

a₂ = 5, a₅ = 14인 등차수열의 공차 d를 구하여라.

풀이 첫 줄에 14 - 5 = 9라고 적으면 두 항의 값 차이만 계산한 것이다. a₂에서 a₅까지는 항번호가 2에서 5로 세 칸 이동하므로

a₅ - a₂ = (5-2)d

14 - 5 = 3d

d = 3

가 되어야 한다. 9는 공차가 아니라 세 칸 동안 증가한 전체 양이다. 이 장면에서는 직전 예제의 숫자만 따라가며 바로 뺄셈을 시작했고, 항번호 차이를 식에 넣지 않았다. 기본 문제에서는 절차를 재현하지만 계수나 부호가 바뀌면 풀이의 출발점을 스스로 점검하지 못한 상태가 드러난다.

처음 어긋난 기호에 표시하고 중간식을 복원하기

새 문제를 풀 때 답만 지우지 않고, 처음 잘못된 기호에 표시한다. 위 풀이에서는 14-5=9에 밑줄을 긋고 그 아래에 다음 식을 다시 쓴다.

14-5=(5-2)d

이후 9를 공차로 확정하지 않고, 항번호 차이 3으로 나누어 d=9÷3=3을 얻는다. 계수가 음수인 경우에도 같은 관계를 유지해야 한다. 예를 들어 a₃=11, a₇=-1이면

-1-11=(7-3)d
-12=4d
d=-3

이다. 항의 값 차이와 항번호 차이를 각각 표시하면 부호가 바뀐 문제에서도 공차를 전체 변화량으로 잘못 읽는 것을 막을 수 있다.

공차가 존재하지 않는 조건에서 멈추는가

다음 조건을 별도의 검증 문제로 제시한다.

a₂=5, a₅=14, a₈=25

첫 번째 두 조건에서는

d=(14-5)/(5-2)=3

이고, 뒤의 두 조건에서는

d=(25-14)/(8-5)=11/3

이다. 같은 등차수열이라면 공차가 하나로 같아야 하므로 이 조건을 만족하는 등차수열은 존재하지 않는다. 여기서 이전처럼 각 숫자를 차례로 빼기만 하면 9와 11을 공차 후보로 남기게 된다. 항번호 차이를 표시하고 두 구간의 공차를 비교해야만 불가능한 조건을 스스로 제거할 수 있다.

새 문항에서도 풀이 첫 줄에 항의 차이만 쓰지 않고, 반드시 (끝 항번호-처음 항번호)d를 함께 적었는지 확인한다. 두 계산에서 공차가 일치하지 않으면 답을 억지로 정하지 않고 ‘등차수열이 존재하지 않음’이라고 결론내리는 것이 정확하다.