원미구 고3수학과외에서 정규분포의 중심을 다시 세우는 연습
소명여자고등학교, 심원고등학교, 상동고등학교 등 원미구의 여러 학교 학생들은 방과 후 통학 동선에 따라 확보되는 자습 시간이 달라질 수 있다. 원미동·춘의동·도당동에서 이동한 뒤 짧은 시간에 오답을 점검하려면, 정규분포 문제에서도 계산보다 먼저 평균과 구간의 관계를 확인해야 한다.
평균을 0으로 두고 시작한 오답
한 학생은 확률변수 X가 평균이 음수인 정규분포를 따르는 문제에서 다음과 같이 풀었다.
X ~ N(-4, 9)일 때, P(-7 ≤ X ≤ 2)를 구하여라.
학생의 오답은 다음과 같았다.
오답: 평균을 0으로 보고 표준화하여
P(-7 ≤ X ≤ 2) = P(-7/3 ≤ Z ≤ 2/3)
이 식은 틀렸다. 정규분포의 표준화는 원자료에서 평균을 빼야 하므로 x를 그대로 표준편차로 나누는 것이 아니다. 또한 이 문제의 중심은 0이 아니라 평균 -4이다. 실제로 -7과 2는 평균 -4를 기준으로 각각 왼쪽 3, 오른쪽 6만큼 떨어져 있다.
수직선에서 평균과 경계를 먼저 확인하기
학생은 오답 줄에 표시를 남긴 뒤 수직선에 -7, -4, 2를 차례로 표시했다. 그다음 조건을 다음처럼 다시 적었다.
-7 ≤ X ≤ 2, 평균 μ = -4, 표준편차 σ = 3
따라서 표준화 식은
z = (x - μ) / σ = (x + 4) / 3
이고, 양 끝점은
(-7 + 4) / 3 = -1, (2 + 4) / 3 = 2
가 된다. 그러므로
P(-7 ≤ X ≤ 2) = P(-1 ≤ Z ≤ 2)
= Φ(2) - Φ(-1)
≈ 0.9772 - 0.1587 = 0.8185
이다. 처음의 오답처럼 평균을 0으로 두면 구간의 위치가 달라져 전혀 다른 확률을 계산하게 된다.
계산 뒤 원식으로 역검산하기
학생은 답을 적은 뒤 표준정규분포의 세 구간을 나누어 확률의 총합도 확인했다.
- P(Z < -1) ≈ 0.1587
- P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0.8185
- P(Z > 2) ≈ 0.0228
세 확률의 합은 0.1587 + 0.8185 + 0.0228 = 1.0000이다. 또 원래 구간에서 평균 -4가 가운데에 있고, 왼쪽 경계 -7보다 오른쪽 경계 2가 더 멀리 있으므로 구간확률이 0.5보다 커야 한다는 점도 결과 0.8185와 일치한다.
음의 평균이 아닌 조건으로 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 조건을 바꾸어 확인했다.
Y ~ N(-6, 16)일 때, P(-10 ≤ Y ≤ -2)를 구하여라.
이번에는 평균이 -6이고 표준편차가 4이므로 중심을 0에 두지 않고 -6에 둔다.
P(-10 ≤ Y ≤ -2)
= P((-10 + 6)/4 ≤ Z ≤ (-2 + 6)/4)
= P(-1 ≤ Z ≤ 1)
≈ 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
구간의 양 끝이 평균 -6에서 각각 4만큼 떨어져 대칭이므로 약 0.6826이 나오는 것이 타당하다. 평균을 0으로 잘못 두면 -2.5와 -0.5라는 비대칭 구간이 되어 이 대칭성 검산을 통과할 수 없다.
이제 학생은 새 정규분포 문제를 풀 때 오답 줄에 평균을 0으로 둔 부분을 먼저 표시하고, 평균·표준편차·구간을 수직선에 옮긴 뒤 표준화한다. 마지막에는 원래 구간의 위치와 확률의 총합을 함께 확인하는 방식으로 풀이를 마무리한다.