원미구고1수학과외: 일반형 원의 식에서 완전제곱으로 중심 읽기
원미동·춘의동·도당동 등에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는, 원의 방정식을 무작정 전개하기보다 식의 각 항이 중심 좌표와 어떻게 연결되는지 확인하는 연습이 필요하다. 일반형을 완전제곱식으로 바꾸면 중심과 반지름이 동시에 드러난다.
상수항을 그대로 둔 채 제곱을 완성한 오답
학교 프린트의 다음 식에서 학생은 x부분과 y부분을 한 번에 정리했다.
x²+y²-6x+8y-11=0
학생의 풀이에는 다음과 같은 흔적이 남았다.
(x-3)²+(y+4)²-11=0
괄호 안의 제곱을 만들기 위해 x부분에는 9, y부분에는 16이 필요하지만, 그 값을 식 전체에서 보정하지 않았다. 따라서 위 식을 전개하면 x²+y²-6x+8y+5=0이 되어 원래 식의 상수항 -11과 달라진다.
두 보정값은 반드시 식 전체에 반영한다
x항과 y항을 각각 묶으면 다음과 같다.
x²-6x=(x-3)²-9
y²+8y=(y+4)²-16
이를 원래 식에 대입하면
(x-3)²-9+(y+4)²-16-11=0
따라서
(x-3)²+(y+4)²=36
이 식은 중심이 (3, -4)이고 반지름이 6인 원을 나타낸다. -9와 -16은 완전제곱을 만든 대가로 생긴 값이므로, 원래 상수항 -11과 함께 오른쪽으로 넘겨 36을 만들어야 한다.
중심 좌표의 부호를 괄호에서 다시 읽기
중심을 찾을 때 괄호 안의 부호를 그대로 좌표로 옮기면 안 된다. 표준형이
(x-a)²+(y-b)²=r²
일 때 중심은 (a, b)이다. 그러므로 (x-3)²에서는 x좌표가 3이고, (y+4)²=(y-(-4))²에서는 y좌표가 -4이다. 학생이 적은 보정값 9와 16만 지우는 방식으로는 중심을 판단할 수 없으며, 완성된 괄호와 상수항을 함께 확인해야 한다.
오답표의 누락을 풀이 행동으로 바꾸기
이 학생의 오답표에는 ‘일반형의 원을 완전제곱식으로 고쳐 중심 찾기’ 단계가 빠져 있었다. 이를 보완할 때는 풀이 첫 줄에 다음처럼 두 줄을 먼저 적게 한다.
- x²의 계수와 x의 계수를 보고 (x-3)²를 만든다.
- y²의 계수와 y의 계수를 보고 (y+4)²를 만든다.
그 뒤 빠진 보정값을 원래 식에 표시한다.
x²-6x+9-9+y²+8y+16-16-11=0
이렇게 쓰면 추가한 9와 16이 각각 -9, -16으로 상쇄되어야 한다는 사실이 보인다. 학생이 새로운 일반형을 보았을 때 이 표시를 먼저 하고 중심을 읽는다면, x와 y의 보정 상수를 한꺼번에 처리하는 오류를 줄일 수 있다.
괄호 위치를 바꾼 식으로 확인한 적용
이후에는 다음처럼 부호와 상수항을 바꾼 문제를 제시한다.
x²+y²+10x-4y-20=0
완전제곱을 만들면
x²+10x=(x+5)²-25
y²-4y=(y-2)²-4
이므로
(x+5)²-25+(y-2)²-4-20=0
따라서
(x+5)²+(y-2)²=49
중심은 (-5, 2), 반지름은 7이다. 이 문제에서 학생이 먼저 25와 4를 식에 보정하고, 마지막에 오른쪽 상수를 계산해 49를 얻는지 확인한다. 수행평가에서 받은 ‘완전제곱을 만든 값은 전체 식에서 보정한다’는 피드백을 새로운 계산 문제와 풀이 설명에 다시 사용했다면, 해결된 문제를 복습 목록에서 제외할 수 있다.