약대동 고2수학과외, 등차수열 일반항을 변형식에 다시 연결하는 연습
약대동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 소명여자고등학교·심원고등학교·상동고등학교·도당고등학교·중흥고등학교 등 같은 원미구의 학교를 통학권 참고 자료로 삼을 수 있다. 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 풀이를 정리하는 시간은 학생마다 달라질 수 있지만, 등차수열에서는 짧은 문제라도 항번호와 공차를 다시 확인하는 과정이 빠지면 변형문제에서 식 전체가 흔들린다.
aₙ에서 n과 n−1을 구별해야 하는 이유
수열의 첫째항이 a₁이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은
aₙ=a₁+(n−1)d
이다. 첫째항에서 n번째 항까지 공차를 더하는 횟수가 n−1번이기 때문이다. 항번호가 바뀌거나 계수와 부호가 달라진 문제에서는 이전 식을 그대로 옮기지 말고, 주어진 항의 번호를 기준으로 공차 관계를 새로 세워야 한다.
예를 들어 다음 조건을 보자.
a₃=7, a₈=−8
두 항의 번호 차이는 8−3=5이므로
a₈−a₃=5d
이다. 따라서
−8−7=5d → d=−3
이고, a₃=a₁+2d이므로
7=a₁+2(−3) → a₁=13
일반항은
aₙ=13+(n−1)(−3)=16−3n
으로 정리된다.
변형문제에서 이전 식을 옮겨 적은 순간
계수나 부호를 바꾼 문제를 풀 때 학생이 항번호와 부분합의 기준을 다시 적지 않고, 앞에서 보았던 형태를 기억해 답안에
aₙ=a₁+nd
라고 쓰는 장면이 있었다. 이 식은 n=1일 때 a₁+d가 되어 첫째항이 a₁이 되지 않는다. 즉, 공차를 n번 더한 식이므로 등차수열의 첫 항부터 세는 일반항과 맞지 않는다.
앞의 값으로 잘못된 식을 만들면 aₙ=13−3n이 된다. 그러나 n=1을 대입하면 a₁=10이 되고, 실제로 구한 첫째항 13과 일치하지 않는다. 반면 정확한 식 16−3n에 n=1을 대입하면 a₁=13, n=3을 대입하면 a₃=7이 되어 조건을 모두 복원한다.
부분합을 사용할 때도 항번호부터 다시 세우기
부분합이 함께 제시된 경우에는 일반항의 출발점을 임의로 바꾸지 않아야 한다. 예를 들어 S₁=a₁이고, n≥2일 때
aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁
이다. 따라서 Sₙ의 식을 이용해 aₙ을 구할 때에도 n번째 항인지, 첫째항에서 몇 번 공차를 더한 값인지 확인해야 한다. 풀이 줄의 옆에
n=1: 공차 0회, n=2: 공차 1회, n=3: 공차 2회
를 적으면 n−1의 의미를 놓치지 않게 된다. 식을 세운 뒤에는 구한 일반항에서 a₁과 조건으로 주어진 항을 다시 계산한다.
새로운 계수와 부호로 확인한 일반항
앞의 예제를 보지 않은 상태에서 다음 문제를 풀어 보며 같은 판단이 유지되는지 확인한다.
a₄=−2, a₁₀=16인 등차수열의 일반항을 구하여라.
항번호 차이는 10−4=6이므로
16−(−2)=6d → d=3
이다. a₄=a₁+3d이므로
−2=a₁+9 → a₁=−11
따라서
aₙ=−11+(n−1)·3=3n−14
이다. 마지막으로 a₄=3·4−14=−2, a₁₀=3·10−14=16을 대입해 조건을 복원한다. 이처럼 새로운 숫자와 부호에서도 항번호 차이, n−1의 횟수, 원래 조건 대입을 순서대로 남겼다면 일반항을 변형식에 맞게 다시 세운 것이다.