약대동고1수학과외

약대동고1수학과외, 점을 원의 방정식에 대입하는 확인

원의 방정식을 구한 뒤 답안이 끝났다고 생각하기 쉽지만, 마지막에는 그 점이 실제로 원 위에 있는지 식에 넣어 확인해야 한다. 약대동의 학생도 통학 시간과 귀가 후 확보되는 공부 시간이 서로 다르므로, 짧은 학습 시간에는 이 검산 과정을 말로 재현할 수 있는지 먼저 살펴볼 필요가 있다.

계산을 이어 가기 전에 확인해야 할 한 줄

원의 방정식이

(x-2)²+(y+1)²=13

이고 점 P(4, 2)가 주어졌다고 하자. 점의 좌표를 각각 x와 y에 대입하면

(4-2)²+(2+1)²=2²+3²=4+9=13

이므로 P는 원 위에 있다. 여기서 y좌표가 2이므로 y+1에 2를 넣어 3이 된다는 점을 놓치지 않아야 한다.

답안에서 빠진 대입과 부호

학생은 학교 프린트에서 중심과 반지름을 구한 뒤, 점 P(4, 2)를 원 위의 점이라고 적고 다음 계산으로 넘어갔다. 하지만 답안에는 (4-2)²+(2+1)²를 실제로 계산한 줄이 없었다.

또 다른 문제에서 원의 방정식이 (x+3)²+(y-1)²=20, 점이 Q(1, 3)이라면 다음처럼 확인해야 한다.

(1+3)²+(3-1)²=4²+2²=20

따라서 Q는 원 위에 있다. (x+3)을 x-3으로 바꾸거나, (y-1)에 3을 넣고 3-1을 계산하지 않으면 결론이 달라진다.

말로 근거를 붙인 뒤 계산하기

풀이할 때 먼저 “점의 x좌표와 y좌표를 원의 방정식에 각각 대입해 좌변이 우변과 같은지 확인한다”고 말하게 한다. 그 다음 좌표를 넣고, 좌변의 값이 반지름의 제곱과 같은지 비교한다.

예를 들어 R(0, 2)를 위의 원에 대입하면

(0-2)²+(2+1)²=4+9=13

이므로 R도 원 위에 있다. 반면 S(2, 1)은

(2-2)²+(1+1)²=0+4=4

로 13과 다르므로 원 위의 점이 아니다. 계산 결과가 같지 않을 때에는 억지로 원 위에 있다고 쓰지 않고, 주어진 점이 원의 내부나 외부에 있을 가능성까지 구분해야 한다.

표현이 바뀐 프린트에서 확인할 장면

이후에는 교과서와 문장이 다른 학교 프린트를 제시한다. 예를 들어 “중심이 (−1, 4)이고 반지름의 길이가 5인 원에 속하는 점을 고르시오”라는 문제에서 보기 중 A(2, 8)을 고르게 할 수 있다.

원의 방정식은 (x+1)²+(y-4)²=25이고, A를 대입하면

(2+1)²+(8-4)²=3²+4²=25

이다. 학생이 이 과정을 말로 설명하고 직접 계산했다면, 문제의 표현이 “원에 속하는 점”으로 바뀌어도 같은 판단을 적용한 것이다. 반대로 대입 줄을 생략하거나 부호를 묻지 않고 답만 고르면 재현 실패한 문항으로 남긴다.

선수 계산이 흔들릴 때의 판단

대입 과정에서 음수의 괄호나 제곱 계산이 반복해서 틀린다면 중1 문자식과 방정식의 해당 계산만 짧게 보완한다. 예를 들어 (−2−1)²=(−3)²=9임을 확인한 뒤 곧바로 원의 방정식 문제로 돌아온다. 그래프 전체를 다시 공부하기보다, 현재 풀이를 막는 좌표 대입과 부호 처리를 우선 확인하는 방식이다.

• 원의 방정식을 정확히 적는다.
• 점의 x좌표와 y좌표를 각각 괄호에 넣는다.
• 좌변의 계산값과 반지름의 제곱을 비교한다.
• 같으면 원 위, 다르면 원 위가 아니라고 결론 내린다.