약대동 생활 리듬에 맞춘 정규분포 구간 해석
약대동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 소명여자고등학교·심원고등학교·상동고등학교 등 원미구 내 통학권을 참고해 학생의 이동 시간과 자습 가능 시간을 구분해 학습 계획을 세웠다. 이 학생은 귀가 후 짧은 시간에 문제를 풀기 때문에 계산보다 평균과 표준편차의 관계를 먼저 확인하는 연습이 필요했다.
경계를 표준화하지 않고 이전 값을 옮겨 쓴 오답
어떤 모의평가 점수 \(X\)가 평균 \(68\), 표준편차 \(8\)인 정규분포를 따른다고 하자. 점수가 \(76\) 이상 \(84\) 이하일 확률을 구하면
\[ P(76\le X\le84) =P\left(\frac{76-68}{8}\le Z\le\frac{84-68}{8}\right) =P(1\le Z\le2) \]
가 되어야 한다. 그런데 학생은 숫자와 문자를 바꾼 새 문제라는 이유로 직전 풀이의 경계를 그대로 사용해
\(P(76\le X\le84)=P(0.8\le Z\le1.8)\)
라고 적었다. 이 식은 오답이다. 표준화값은 원자료의 경계와 평균의 차이를 표준편차로 나누어 정하므로, \(76\)의 표준화값은 \((76-68)/8=1\), \(84\)의 표준화값은 \((84-68)/8=2\)이다. 표준정규분포표에서 \(P(1\le Z\le2)=\Phi(2)-\Phi(1)\)을 사용하면 약 \(0.9772-0.8413=0.1359\)이다.
틀린 줄부터 원자료로 되돌려 검산하기
- 답안의 \(0.8\le Z\le1.8\)에 밑줄을 긋고, 평균 \(68\), 표준편차 \(8\), 양 끝점 \(76,84\)를 다시 표시한다.
- 각 경계가 \(z=(x-\mu)/\sigma\)에서 나온 것인지 확인한다.
- \(76\)은 \(z=1\), \(84\)는 \(z=2\)로 고쳐 \(P(1\le Z\le2)\)를 계산한다.
- 역계산 \(x=68+8z\)를 적용해 \(z=1,2\)가 각각 \(76,84\)로 돌아오는지 확인한다.
- 구간의 양 끝점은 \(X\)가 연속확률변수이므로 포함 여부가 확률값에 영향을 주지 않지만, 답안에는 \(76\le X\le84\)처럼 조건을 끝까지 적는다.
표준편차를 바꾼 독립 검증
이번에는 \(Y\sim N(70,12^2)\)이고 \(82\le Y\le94\)일 확률을 구한다. 앞 문제의 \(z=1,2\)를 그대로 쓰면 안 된다.
\[ P(82\le Y\le94) =P\left(\frac{82-70}{12}\le Z\le\frac{94-70}{12}\right) =P(1\le Z\le2) \]
이번 수치는 우연히 같은 표준화 구간이지만, 그 이유는 두 경계가 평균에서 각각 \(12,24\)만큼 떨어져 표준편차 \(12\)의 \(1배,2배\)가 되었기 때문이다. 역계산 \(70+12(1)=82\), \(70+12(2)=94\)로 확인한 뒤 확률은 다시 약 \(0.1359\)로 얻는다. 다음에는 표준편차뿐 아니라 평균과 구간의 위치도 바꾸어 표준화식을 먼저 세우는지 점검한다.