매교동고2수학과외

매교동고2수학과외, 등차수열 두 항에서 첫째항과 공차를 결정하는 법

등차수열 문제에서 계산이 막히는 지점은 연립방정식 자체보다 항번호를 식에 정확히 반영하는 과정에서 생긴다. 매교동의 수원고등학교처럼 학교별 지필평가와 주간 학습 일정이 다른 환경에서는 풀이 한 줄에 항번호와 부호를 남기는 습관이 중요하다. 창현고등학교·숙지고등학교 등 같은 팔달구의 참고 학교와 학습 일정이 다르더라도, 이 판단은 등차수열 문제 자체에서 확인할 수 있다.

a₃과 a₇ 사이에는 공차가 네 번 들어간다

등차수열의 일반항은

a_n = a₁ + (n-1)d

이다. 따라서 조건이

a₃ = 7,　a₇ = 19

라면 두 항의 차이는 공차가 7-3=4번 누적된 결과다.

a₇ - a₃ = (7-3)d
19 - 7 = 4d
d = 3

이후 a₃ = a₁ + 2d에 대입하면

7 = a₁ + 2×3
a₁ = 1

따라서 첫째항과 공차는 각각 a₁=1, d=3이다.

항의 값 차이를 바로 공차로 쓰면 생기는 오답

풀이 흔적에서 19-7=12까지 계산한 뒤, 항번호 차이인 4로 나누지 않고 공차를 12라고 적는 경우가 있다. 이때 수열을

1, 13, 25, 37, 49, 61, 73

처럼 해석하게 되므로 a₇은 19가 아니라 73이 된다. 두 항 사이에 4개의 간격이 있다는 사실을 빠뜨린 것이다. 항번호가 3에서 7로 이동한 것은 세 칸 이동이 아니라 네 칸 이동이므로, 반드시 a₇-a₃ = 4d로 써야 한다.

미니문제에서 항번호를 식의 계수로 바꾸기

같은 위치의 숫자만 바꾸어 다음 문제를 바로 풀어 본다.

a₂ = 10,　a₆ = 22

먼저 항번호 차이를 표시한다.

6-2=4
a₆-a₂ = 4d
22-10=4d
d=3

그리고 a₂ = a₁+d이므로

10=a₁+3
a₁=7

이처럼 답안에는 ‘두 항의 값 차이’와 ‘항번호 차이’를 분리해 적어야 한다. 이 과정을 생략하면 숫자만 달라진 문제에서 다시 값의 차이를 공차로 착각하기 쉽다.

공차가 음수일 때도 같은 기준을 유지하는지 확인하기

이번에는 부호가 바뀐 조건을 적용한다.

a₂ = 10,　a₆ = -2

6-2=4
a₆-a₂ = 4d
-2-10=4d
-12=4d
d=-3

따라서

a₂=a₁+d
10=a₁-3
a₁=13

마지막으로 13, 10, 7, 4, 1, -2를 확인하면 여섯째 항이 -2이므로 조건과 일치한다. 숫자가 바뀌거나 공차의 부호가 달라져도 항번호 차이 계산 → 공차 결정 → 첫째항 대입 → 원래 두 항 확인의 순서를 유지했는지가 판단 기준이다.