매교동고1수학과외, 세 점으로 원의 미지계수 결정하기
수원고등학교의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리하는 과정에서, 원의 방정식 자체는 적었지만 세 점이 실제로 그 원 위에 놓인다는 확인 과정이 답안에서 빠지는 경우가 있었다. 매교동 생활권에서 귀가 후 짧은 시간에 풀이를 정리할 때도 결과식만 남기지 않고 미지계수가 어떻게 결정되었는지 기록해야 한다.
결과식만 남은 답안에서 빠진 단계
세 점 (1, 1), (3, 1), (1, 5)를 지나는 원의 방정식을
x2+y2+Dx+Ey+F=0
으로 두자. 답안에는 최종적으로 x2+y2-4x-6y+8=0만 적혀 있었지만, 학생은 각 점을 대입해 D, E, F를 정하는 줄을 쓰지 않고 다음 계산으로 넘어갔다. 따라서 식이 맞더라도 세 점 조건을 사용했다는 근거가 드러나지 않는다.
세 좌표가 만드는 세 개의 조건
첫 번째 점을 대입하면
1+1+D+E+F=0, 즉 D+E+F=-2이다.
두 번째 점에서는
9+1+3D+E+F=0, 즉 3D+E+F=-10을 얻는다.
세 번째 점에서는
1+25+D+5E+F=0, 즉 D+5E+F=-26이다.
두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 2D=-8이므로 D=-4이다. 세 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 4E=-24이므로 E=-6이다. 이를 첫 식에 넣으면
-4-6+F=-2이므로 F=8이다.
따라서 원의 방정식은 x2+y2-4x-6y+8=0이다. 풀이를 시작하기 전 “일반형에 세 점을 각각 대입하여 세 미지계수에 대한 세 조건을 만들고, 그 연립방정식을 풀어 계수를 결정한다”고 말하게 하면 생략된 판단이 드러난다.
부호와 절댓값을 따로 읽는 검산
식을 완전제곱식으로 바꾸면
(x-2)2+(y-3)2=5
이다. 따라서 중심은 (2, 3), 반지름은 √5이다. 여기서 x-2, y-3의 부호는 중심 좌표를 결정하는 부호 판단이고, 반지름은 거리의 제곱근인 √5로 계산한다. 부호와 거리 계산을 한 번에 암기하지 않고 분리하면 계수의 부호를 잘못 옮기는 일을 줄일 수 있다.
마지막으로 세 점을 원래 식에 대입한다. (1,1)에서는 1+1-4-6+8=0, (3,1)에서는 9+1-12-6+8=0, (1,5)에서는 1+25-4-30+8=0이므로 모두 조건을 만족한다.
좌표를 바꾼 그래프 문제에서 순서 확인
새 문제로 세 점 (-1,2), (3,2), (-1,6)을 지나는 원을 같은 방식으로 구하게 한다. 일반형에 대입하면
- D+(-1)E+F=-5
- 3D+2E+F=-13
- -D+6E+F=-37
첫째 식을 둘째 식에서 빼면 2D+3E=-8, 첫째 식을 셋째 식에서 빼면 -2D+7E=-32이다. 두 식을 더하면 10E=-40이므로 E=-4, 이어서 D=-2, F=20을 얻는다.
따라서 새 원은 x2+y2-2x-4y+20=0이고, 완전제곱식으로는 (x-1)2+(y-2)2>=-15가 되어 원이 될 수 없다. 이 좌표들은 실제로 한 직선 위에 놓인다. 즉 세 점이 원을 정하는 조건인지 먼저 확인해야 하며, 계산 결과가 원의 방정식이 아니면 미지계수 계산만 반복하지 않고 점의 배치와 연립방정식을 다시 점검해야 한다.