매교동고3수학과외

평균과 표준편차가 달라질 때 표준화 식을 다시 세우는 연습

매교동에서 고3 수학과외를 받는 학생은 학교별 내신 일정과 주간 학습량이 달라 문제를 여러 유형으로 빠르게 처리하려 했다. 정규분포 문제에서는 앞 문항의 결론을 그대로 적용하기보다, 매번 평균과 표준편차가 무엇을 뜻하는지 확인하는 연습이 필요했다.

앞 문제의 결론을 그대로 옮긴 오답

어떤 시험 점수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따른다고 하자. 불필요하게 응시 인원이 240명이라는 조건이 함께 제시된 다음 구간을 표준화했다.

60 < X < 85

학생은 앞 문제에서 사용한 부호를 그대로 기억해 다음과 같이 적었다.

z₁ = (70-60)/10 = 1,   z₂ = (85-70)/10 = 1.5

이 식은 오답이다. 표준화는 원자료에서 평균을 빼므로 z=(x-μ)/σ이다. x=60은 평균 70보다 작아야 하므로 표준화값은 음수여야 한다. 응시 인원은 한 학생의 점수를 표준화하는 이 계산과 관계없는 조건이다.

틀린 항만 표시하고 출발식부터 복원하기

• 틀린 줄 표시: z₁ = (70-60)/10
• 변수 관계 확인: x는 관찰한 점수, μ=70은 평균, σ=10은 양의 표준편차이다.
• 식 수정: z=(x-μ)/σ를 먼저 적고 대입한다.

따라서

z₆₀ = (60-70)/10 = -1,   z₈₅ = (85-70)/10 = 1.5

이므로

P(60<X<85)=P(-1<Z<1.5)=Φ(1.5)-Φ(-1)

이다. 표준정규분포표를 사용하면 Φ(1.5)=0.9332, Φ(-1)=0.1587이므로 확률은 0.7745이다.

역계산으로도 확인했다. z=-1을 원점수로 되돌리면 x=70+10(-1)=60이고, z=1.5에서는 x=70+10(1.5)=85가 된다. 평균보다 작은 점수가 양의 z로 바뀌지 않는지 수직선에 60, 70, 85를 표시해 방향도 검산했다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 새로운 확률변수 Y가 평균 68, 표준편차 8인 정규분포를 따르고, 구간을 52<Y<80으로 바꾸었다. 앞 문제의 평균과 표준편차를 재사용하지 않고 첫 줄부터 다시 계산한다.

z₅₂=(52-68)/8=-2,   z₈₀=(80-68)/8=1.5

따라서

P(52<Y<80)=P(-2<Z<1.5)=Φ(1.5)-Φ(-2)

이고, Φ(-2)=0.0228이므로 확률은 0.9104이다. 학생은 마지막에 음수 z가 평균보다 왼쪽을 나타내는지 확인하고, 역계산 68+8(-2)=52, 68+8(1.5)=80으로 수정 절차가 유지되었는지 점검했다.