도당동고2수학과외에서 확인한 일반항의 기준점
오답표에 an=a1+nd가 적혀 있었다. 등차수열의 공차가 d라는 사실은 알고 있었지만, 첫째항에서 n번째 항까지 공차를 더하는 횟수가 n번이 아니라 n-1번이라는 기준을 놓친 것이다.
a1에서 an까지 공차를 더하는 횟수
등차수열에서는 이웃한 항의 차가 일정해야 한다. 따라서 공차 조건이 확인된 수열에서만
an=a1+(n-1)d
를 적용한다. 특히 n=1을 대입하면 a1=a1+0d가 되어 첫째항이 그대로 보존된다.
예를 들어 a1=5, d=3인 등차수열의 다섯째 항은
a5=5+(5-1)×3=17
이다. 잘못된 식을 사용하면 5+5×3=20이 되는데, 실제 항을 나열하면 5, 8, 11, 14, 17이므로 다섯째 항은 17이어야 한다. 항 번호 1에서 시작해 네 번만 공차를 더했다는 점이 검산 근거다.
공차가 일정한지 먼저 판별하기
풀이 과정에서 계수만 보고 일반항을 바로 쓰지 않고, 먼저 항의 차를 확인해야 한다. 7, 11, 15, 19라면 각 차가 4이므로 등차수열이고,
an=7+(n-1)×4=4n+3
으로 정리된다. 반대로 차가 일정하지 않은 수열이라면 이 공식을 그대로 적용할 수 없다. 현재 풀이에서는 공차 조건을 적지 않은 채 일반항부터 계산했기 때문에, 공식의 성립 범위와 기준항을 함께 재확인해야 한다.
시작항이 바뀌면 n-1의 위치도 다시 확인하기
독립 문제로 첫 항이 a2=6이고 공차가 4인 수열의 a7을 구해 보자. 기준항이 첫째항이 아니라 둘째항이므로 공차를 더하는 횟수는 7-2=5이다.
a7=a2+(7-2)×4=6+20=26
이처럼 무조건 a1+(n-1)d를 끼워 넣는 것이 아니라, 어느 항을 기준으로 삼았는지와 항 번호의 차이를 먼저 적어야 한다. 도당고등학교 과제나 지필평가 준비에서도 풀이 첫 줄에 ‘기준항, 공차, 항 번호 차이’를 남기면 공식의 적용 범위를 스스로 점검할 수 있다.