도당동고1수학과외: x항·y항을 완전제곱으로 바꾸는 상수 보정
도당동고1수학과외 학습에서 이차식의 모양을 바꿀 때는 양끝 항만 제곱꼴로 만드는 것으로 충분하지 않다. 예를 들어
x² + 6x + y² - 8y
를 정리하려면 x에 관한 항과 y에 관한 항을 각각 살피면서 가운데항이 실제로 2ab가 되는지 확인해야 한다.
양끝 제곱근만 적으면 생기는 빈칸
한 학생은 위 식을 보고 x²의 제곱근을 3, y²의 제곱근을 4로 잡은 뒤 다음처럼 적었다.
x² + 6x + y² - 8y = (x+3)² + (y-4)²
이 식은 맞지 않는다. 오른쪽을 전개하면
(x+3)² + (y-4)² = x² + 6x + 9 + y² - 8y + 16
이므로 원래 식보다 상수항이 25만큼 커진다. 양끝 항의 제곱근은 찾았지만, x에 대한 가운데항 6x = 2·x·3, y에 대한 가운데항 -8y = 2·y·(-4)인지 확인하는 과정과 그에 따른 상수 보정이 빠진 것이다.
세 칸으로 나누어 상수를 보정하기
각 문자를 따로 세 칸에 대응시키면 판단이 분명해진다.
- x²의 제곱근: x
- x의 가운데항: 6x = 2·x·3
- 보정할 제곱: 3² = 9
- y²의 제곱근: y
- y의 가운데항: -8y = 2·y·(-4)
- 보정할 제곱: (-4)² = 16
따라서 9와 16을 식에 넣었다가 다시 빼야 한다.
x² + 6x + y² - 8y
= x² + 6x + 9 + y² - 8y + 16 - 25
= (x+3)² + (y-4)² - 25
상수 보정은 임의로 숫자를 더하는 일이 아니다. 9와 16을 더해 완전제곱식을 만든 뒤, 원래 식과 값이 같도록 25를 다시 빼는 과정이다.
답안에 남겨야 하는 근거
도당고등학교 과제나 학교 프린트를 풀 때에는 최종식만 쓰지 않고 다음처럼 근거를 짧게 남기는 연습이 필요하다.
6x = 2·x·3이므로 3²을 더하고, -8y = 2·y·(-4)이므로 (-4)²을 더한다. 더한 상수의 합 25를 빼서 값의 변화를 보정한다.
이 문장이 있으면 양끝 항만 보고 형식을 맞춘 것이 아니라 가운데항과 상수항의 관계를 확인했다는 사실이 드러난다. 현재 상태에서는 완전제곱의 모양은 기억하고 있지만, 그 모양이 성립하는 근거를 답안에 연결하는 기준이 아직 안정되지 않은 것으로 볼 수 있다.
문장제 조건에서도 같은 연산인지 설명하기
다음과 같이 조건이 붙은 문제를 제시할 수 있다.
점 (x, y)가 x² + 6x + y² - 8y = 0을 만족할 때, 이 점이 어떤 원 위에 있는지 나타내어라.
식을 완전제곱으로 바꾸면
(x+3)² + (y-4)² - 25 = 0
이고, 양변에 25를 더해
(x+3)² + (y-4)² = 25
를 얻는다. 따라서 중심은 (-3, 4), 반지름은 5인 원이다. 여기서 ‘이항해서 25가 넘어갔다’고만 쓰지 말고, 양변에 같은 수 25를 더했기 때문에 등식이 유지된다고 설명해야 한다. 이 설명은 식의 항을 옮기는 절차를 근거 있는 같은 연산으로 이해했는지 확인해 준다.
시간이 부족할 때의 보류·복귀 기준
귀가 시각이 늦거나 과제와 시험 준비가 겹친 날에는 긴 풀이를 붙잡고 있기보다, x와 y 각각의 세 칸 확인을 먼저 표시한다. 제곱근, 가운데항의 2ab, 보정할 제곱 중 하나라도 표시하지 못했다면 답을 확정하지 않고 식 옆에 보류 표시를 남긴다. 이후 복귀했을 때 전개하여 원래 식의 상수항과 같은지 확인한다.
질문 없이 바뀐 조건에 적용하기
훈련 문제의 계수를 바꾸어 다음 식을 제시한다.
2x² + 12x + 2y² - 20y + 7 = 0
학생이 먼저 2를 묶어
2(x² + 6x + 9 + y² - 10y + 25) + 7 - 2(9+25) = 0
로 정리한다면,
2(x+3)² + 2(y-5)² - 61 = 0
을 얻는다. 실제로 전개하면 상수항은 18+50-61=7이므로 원래 식과 일치한다. 교사의 질문 없이도 x의 가운데항 12x가 2·2·x·3으로, y의 가운데항 -20y가 2·2·y·(-5)로 연결되는지 설명하는지가 새로운 조건에서의 확인 지점이다.