도당동 고3 수학과외에서 확인한 정규분포 표준화 오류
도당동의 도당고등학교를 비롯해 원미구 내 학교를 다니는 고3 학생은 귀가 시각과 과제량에 따라 시험 준비 순서를 조정해야 한다. 이 학생은 정규분포 문제를 풀 때 계산 자체보다 일반 정규변수와 표준정규변수의 좌표 관계를 먼저 구분하는 연습이 필요했다.
표준화하지 않고 표준정규표를 읽은 풀이
어떤 시험 점수 X가 평균 65, 표준편차 10인 정규분포를 따른다고 하자. 다음 확률을 구하는 문제이다.
X ~ N(65, 102)일 때 P(70 < X < 85)
학생은 풀이 첫 줄에서 다음과 같이 적었다.
P(70 < X < 85) = P(0.5 < Z < 2) = Φ(2) - Φ(0.5)
이 식은 오답이다. 70과 85는 원래 점수의 단위인 X의 값이고, 0.5와 2는 표준화한 Z의 값이다. 일반 정규변수 X와 표준정규변수 Z를 같은 좌표처럼 읽었기 때문에 70과 85를 각각 표준정규표의 입력값으로 사용할 근거가 없다.
평균과 표준편차를 먼저 고정한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 변수 사이의 관계를 다시 적었다.
Z = (X - μ) / σ = (X - 65) / 10
따라서 양변의 경계를 각각 표준화하면
- X = 70일 때 Z = (70 - 65) / 10 = 0.5
- X = 85일 때 Z = (85 - 65) / 10 = 2
이제 올바른 식은 다음과 같다.
P(70 < X < 85) = P(0.5 < Z < 2)
표준정규분포의 누적분포함수 Φ를 사용하면
P(0.5 < Z < 2) = Φ(2) - Φ(0.5) ≈ 0.9772 - 0.6915 = 0.2857
학생은 계산 후 구간의 양 끝을 원래 식에 역대입했다. Z=0.5이면 X=65+10×0.5=70이고, Z=2이면 X=65+10×2=85이므로 변환 방향도 일치한다. 평균 65보다 큰 구간이므로 표준화된 값이 양수가 된다는 점도 함께 확인했다.
평균과 표준편차를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고, 이번에는 Y ~ N(72, 82)일 때
P(64 < Y < 88)
을 새로 제시했다. 학생은 먼저
W = (Y - 72) / 8
로 기준을 바꾼 뒤, 64는 W=-1, 88은 W=2로 변환했다.
따라서
P(64 < Y < 88) = P(-1 < W < 2) = Φ(2) - Φ(-1) ≈ 0.9772 - 0.1587 = 0.8185
이번에는 원점이 0이 아니라 평균 72에 대응하고, 표준편차 8이 좌표의 단위를 정한다는 사실을 확인했다. 일반 정규변수의 점수를 표준정규표에 바로 넣지 않고, 평균을 빼고 표준편차로 나눈 뒤 읽는 것이 핵심이다.