용인고2수학과외: 켤레식을 한쪽에만 곱했을 때 극한값이 달라지는 이유
동천역이나 보라동에서 이동한 뒤 학교 프린트의 극한 문제를 풀 때, 계산 시간이 부족해지면 0/0 형태를 발견하고도 중간식을 생략하기 쉽다. 다음 식의 오답은 유리화 자체를 몰라서가 아니라, 계산이 처음 어긋난 줄을 찾지 못한 데서 생긴다.
분자만 바꾼 순간 1/2가 1로 바뀐다
다음 극한을 계산해 보자.
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \]
대입하면 분자는 \(\sqrt1-1=0\), 분모도 \(0\)이므로 \(0/0\)이다. 이 결과는 극한값이 0이라는 뜻이 아니라, 식을 변형해야 한다는 신호다.
풀이 오답표에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \times(\sqrt{x+1}+1) = \frac{x}{x}=1 \]
여기서 처음 어긋난 기호는 분모에 켤레식이 없는 부분이다. 분자에만 \(\sqrt{x+1}+1\)을 곱하면 원래 분수와 같은 식이 아니다. 곱셈은 분자와 분모에 모두 해야 한다.
처음 틀린 기호 아래에 올바른 중간식을 남긴다
오답의 첫 부분에 표시한 뒤, 바로 아래에 다음 중간식을 다시 쓴다.
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} \]
따라서
\[ \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac1{\sqrt{x+1}+1} \quad(x\ne0) \]
이고, 이제 극한을 계산하면
\[ \lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{x+1}+1} = \frac1{1+1} = \frac12 \]
이다. \(x=0\)에서 원래 분수는 정의되지 않지만, 극한은 \(x=0\)에 도달한 뒤의 함수값을 묻는 것이 아니므로 약분한 식에 \(x=0\)을 대입할 수 있다.
부호가 바뀐 식에서도 정의조건과 불가능한 값을 확인하기
수정된 행동이 숫자만 기억한 결과인지 확인하기 위해 다음 문제를 제시한다.
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4-x}-2}{x} \]
분자와 분모가 모두 \(0\)이므로 켤레식을 분자와 분모에 함께 곱한다.
\[ \frac{\sqrt{4-x}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{4-x}+2}{\sqrt{4-x}+2} = \frac{-x}{x(\sqrt{4-x}+2)} = -\frac1{\sqrt{4-x}+2} \]
따라서 극한값은
\[ -\frac1{2+2}=-\frac14 \]
이다. 이때 \(4-x\ge0\), 즉 \(x\le4\)인 범위에서 식이 정의되며 \(x\to0\) 근처에서는 문제가 없다. 또한 제곱근 방정식에서 \(\sqrt{4-x}=-2\) 같은 값을 해로 적었다면 제곱근의 값은 항상 0 이상이므로 불가능한 후보로 제거해야 한다. 켤레식으로 바꾼 뒤에도 정의범위와 후보의 가능성을 확인해야 계산이 끝난다.
이처럼 용인 지역의 학교 프린트와 수행평가 문제를 풀 때는 답만 적지 않고, 켤레식을 양변에 곱한 첫 중간식과 처음 틀린 기호를 함께 남겨야 한다. 그래야 유리화 과정이 새로운 식에서도 유지되는지 확인할 수 있다.