교선에 수직인 선을 먼저 세워 이면각의 첫 오류 찾기
용인고등학교, 수지고등학교, 서원고등학교 등 용인 지역 고등학교 학생들은 통학과 과제 시간이 겹치면서 입체도형 풀이의 중간식을 충분히 확인하지 못하는 경우가 있다. 특히 동천역이나 보라동 생활권처럼 이동 시간이 일정하지 않은 환경에서는 정답만 다시 확인하기보다 풀이의 첫 불일치를 표시하는 습관이 필요하다.
교선의 방향을 기준으로 두 선을 선택하기
두 평면을 다음과 같이 두자.
α: z=0, β: z=y/√3
두 평면의 교선은 y=0, z=0이므로 x축이다. 이면각을 구하려면 각 평면 안에서 교선인 x축에 수직인 두 직선을 잡아야 한다.
- α 위의 수직 방향 벡터: u=(0,1,0)
- β 위의 수직 방향 벡터: v=(0,√3/2,1/2)
v가 β 위에 있는지 확인하면 y=√3/2, z=1/2이므로 z=y/√3을 만족한다. 또한 u·(1,0,0)=0, v·(1,0,0)=0이므로 두 벡터 모두 교선에 수직이다.
따라서 이면각 θ는
cosθ = |u·v|/(|u||v|) = √3/2
이므로 θ=30°이다.
첫 번째로 잘못된 줄을 표시하기
학생의 오답: β에서도 교선에 수직인 선을 (0,1,0)으로 잡았으므로 cosθ=1, θ=0°이다.
이 식은 틀렸다. (0,1,0)은 β 위에 있지 않다. 이 벡터를 β의 식에 대입하면 y=1, z=0이므로 0=1/√3이 되어 조건을 만족하지 않는다. 즉 계산 결과인 cosθ=1이 틀린 것이 아니라, 그보다 앞선 벡터 선택 단계에서 β의 평면 조건을 빠뜨린 것이 첫 오류다.
학생은 답만 다시 표시하지 않고 오답 줄 옆에 “β 조건 누락: z=y/√3 확인”이라고 문자로 적는다. 이어서 교선 방향을 다시 쓰고, 그에 수직인 벡터를 평면 방정식에 대입한다.
벡터 성분을 다시 합성해 검산하기
β에서 선택한 벡터를 단위벡터가 아닌 w=(0,1,1/√3)로 잡아도 된다. 실제 길이는
|w|=√(1+1/3)=2/√3
이므로 u와의 각을 계산하면
cosθ = |u·w|/(|u||w|) = 1/(2/√3)=√3/2
앞에서 구한 값과 일치한다. 또한 w의 성분을 다시 합성하면 y=1, z=1/√3이 되어 β의 식을 정확히 만족한다. 반대로 잘못 선택한 (0,1,0)은 z 성분이 없어 β 위의 방향으로 복원되지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는
α: z=0, γ: z=y/2
로 바꾼다. 두 평면의 교선은 여전히 x축이다. α에서의 벡터는 u=(0,1,0)으로 두고, γ에서 교선에 수직인 단위벡터는
v'=(0,2/√5,1/√5)
이다. 실제로 y=2/√5, z=1/√5이므로 z=y/2를 만족한다.
따라서
cosφ = |u·v'| = 2/√5
이고, φ=cos-1(2/√5)이다. 학생은 새 계수에서도 먼저 교선을 찾고, 두 벡터가 각각 자신의 평면에 놓이는지와 교선에 수직인지 확인한 뒤 내적을 계산한다. 이전 문제의 30°를 그대로 쓰지 않고 조건 변화에 따라 답이 달라지는지 검산한 점이 핵심이다.