용인고1수학과외: 입력과 출력의 변화로 함수의 증가·감소 읽기
동천역이나 보라동 등에서 학교와 귀가 후 학습을 병행하는 고1 학생에게 함수의 증가·감소 문제는 계산 속도보다 변화의 방향을 먼저 읽는 습관이 중요하다. 용인 지역 학교의 프린트 문제에서도 식을 계산한 뒤 증가·감소 구간을 판단해야 하는 유형이 자주 등장할 수 있으므로, 답안의 첫 줄에서 입력값과 출력값의 관계를 분명히 해야 한다.
값을 계산했지만 변화 방향은 쓰지 않은 풀이
함수 f(x)=x2-4x+1의 증가·감소를 조사하는 문제를 보자. 일부 학생은 곧바로 다음처럼 값을 계산했다.
f(0)=1, f(1)=-2, f(2)=-3, f(3)=-2, f(4)=1
따라서 값이 커지므로 증가한다.
이 답안은 계산값 자체는 맞지만, 전체 구간에서 증가한다고 결론 내린 부분이 틀렸다. 출력값은 x가 0에서 2로 갈 때 1, -2, -3으로 작아지고, x가 2에서 4로 갈 때 -3, -2, 1로 커진다. 학생은 입력값 x의 변화와 출력값 f(x)의 변화를 대응시키는 문장을 쓰지 않은 채 다음 계산으로 넘어갔다.
증가와 감소를 가르는 입력·출력의 순서
두 입력값 x1, x2가 x1<x2일 때 출력값의 대소를 비교한다. 이 함수는
f(x)=(x-2)2-3
으로 바꿀 수 있다. x가 2보다 작을 때 x가 2에 가까워질수록 (x-2)2가 작아지므로 f(x)는 감소한다. x가 2보다 클 때는 x가 커질수록 (x-2)2가 커지므로 f(x)는 증가한다.
따라서 정확한 결론은 다음과 같다.
- x의 범위가 x<2일 때 함수는 감소한다.
- x의 범위가 x>2일 때 함수는 증가한다.
- x=2에서는 감소에서 증가로 방향이 바뀌므로, 한 점을 어느 한 증가·감소 구간에 임의로 포함하지 않는다.
빠진 줄을 표시하고 그 자리부터 다시 쓰기
풀이를 고칠 때 계산 전체를 처음부터 베끼지 않고, ‘x가 커질 때 f(x)가 어떻게 변하는가’를 해석해야 하는 위치에 표시한다. 이 문제에서는 꼭짓점의 x좌표가 2라는 사실을 확인한 뒤 다음 문장을 추가한다.
x가 2보다 작은 범위에서는 x가 증가할수록 꼭짓점에 가까워져 f(x)가 작아지고, x가 2보다 큰 범위에서는 x가 증가할수록 꼭짓점에서 멀어져 f(x)가 커진다.
예를 들어 x=0에서 x=1로 입력이 1만큼 증가할 때 출력은 1에서 -2로 3만큼 감소한다. 반대로 x=2에서 x=3으로 입력이 증가하면 출력은 -3에서 -2로 1만큼 증가한다. 이런 대응을 적어야 식의 계산과 증가·감소 판단이 연결된다.
그림의 방향이 달라져도 관계를 먼저 표시하기
새 문제에서 그래프나 도형의 위치가 회전되어 제시되면 모양만 보고 증가·감소를 판단하지 않는다. 좌표축의 방향을 다시 확인하고, 입력에 해당하는 x의 변화와 출력에 해당하는 y의 변화를 화살표로 표시한다. 도형 자체를 회전한 그림이라면 길이, 각, 평행 조건도 직접 표시해 어떤 성질이 보존되는지 먼저 고른다. 그림의 위치가 달라졌다는 사실과 함수값의 변화 방향을 혼동하지 않는 것이 기준이다.
새 식에서 풀이 순서가 유지되는지 확인
검증 문제로 g(x)=-2(x+1)2+5를 제시한다. 학생이 꼭짓점의 x좌표 -1을 찾은 뒤, x가 -1보다 작을 때와 클 때 출력값이 어느 방향으로 변하는지 설명하는지 확인한다.
x가 -1보다 작을 때 x가 -1에 가까워지면 (x+1)2가 작아지고, 앞의 계수 -2 때문에 g(x)는 커진다. x가 -1보다 큰 범위에서는 x가 증가할수록 (x+1)2가 커져 g(x)는 작아진다. 그러므로 g(x)는 x<-1에서 증가하고, x>-1에서 감소한다.
숫자와 그래프의 위치가 바뀌어도 입력값의 증가와 출력값의 증가·감소를 먼저 적고, 그 뒤 계산을 이어 간다면 풀이 순서가 유지된 것으로 판단할 수 있다.