효창동고2수학과외에서는 학생이 로그부등식을 풀었는지만 보지 않고, 해의 범위를 만든 뒤 정수해를 세는 순서까지 확인해야 한다. 효창동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 용산고·오산고·성심여고·중경고·배문고 등 용산구 통학권에서 학교별 주간 일정과 프린트 진도에 맞춰 이런 판단 과정을 점검할 수 있다.
log₂x≤2에서 x=0을 센 이유
학생의 오답표에는 다음과 같이 적혀 있었다.
log₂x≤2이므로 x≤4, 따라서 정수해는 0, 1, 2, 3, 4로 5개
오른쪽의 부등식만 계산하고 로그의 진수 조건을 빠뜨린 장면이다. 로그가 정의되려면 반드시 x>0이어야 한다. 밑 2는 0보다 크고 1이 아니며, 2보다 큰 밑이므로 부등호 방향도 그대로 유지된다.
따라서
log₂x≤2 ⇔ 0<x≤2²=4
정수해는 1, 2, 3, 4이고, 개수는 4개이다. x=0을 원래 식에 대입하면 log₂0이 되어 정의되지 않으므로 해가 될 수 없다. 단순히 0≤x≤4라는 구간으로 바꾸면 원래 로그식의 정의역을 보존하지 못한다.
경계값을 먼저 표시한 뒤 정수해를 세기
풀이 용지에는 로그부등식을 보자마자 정수 목록을 적지 않고, 다음 세 줄을 고정해 쓰게 한다.
① 진수 조건: x>0
② 부등식 변환: log₂x≤2 ⇔ x≤4
③ 결합: 0<x≤4
그다음 정수 후보를 1, 2, 3, 4로 적고, 끝점 4가 포함되는 이유도 확인한다. 실제로 log₂4=2이므로 등호가 허용된다. 반면 0은 진수 조건에서 처음부터 제외된다.
이 과정을 짧게 검산할 때는 x=0을 대입해 식 자체가 정의되지 않음을 확인하고, x=4를 대입해 경계값이 포함됨을 확인한다. 경계값과 정의역을 먼저 남기면 계산 결과만 보고 정수 개수를 세는 습관이 줄어든다.
계수와 부호가 바뀐 로그부등식에서 확인할 것
다음 문제로 같은 판단을 점검한다.
2log₂x−1≤3을 만족하는 정수 x의 개수를 구하여라.
먼저 x>0을 적고, 식을 변형하면
2log₂x≤4
log₂x≤2
0<x≤4
따라서 정수해는 1, 2, 3, 4로 모두 4개이다. 여기서 계수 2를 먼저 이항하지 않고 부등식 방향을 바꾸거나, x=0을 후보에 넣으면 앞선 오답이 다시 나타난다.
마지막으로 새로운 조건을 제시한다.
−log₂(x−1)+2≥0을 만족하는 정수 x의 개수를 구하여라.
진수 조건은 x−1>0, 즉 x>1이다. 부등식을 정리하면
−log₂(x−1)≥−2
log₂(x−1)≤2
0<x−1≤4
따라서 1<x≤5이고, 정수해는 2, 3, 4, 5로 4개이다. 학생이 정의조건을 스스로 적고, 음의 계수를 나눌 때 부등호를 뒤집은 뒤, 네 후보를 원래 식에 대입해 모두 확인하면 새로운 표현에서도 로그의 범위와 정수해 개수를 연결한 것으로 판단할 수 있다.