효창동고1수학과외: 정수해 부등식에서 경계값을 세는 법
효창동 생활권에서 학교 프린트와 문제집을 번갈아 풀다 보면 부등식의 계산은 맞았는데 정수해 개수에서 답이 달라지는 경우가 있다. 특히 부등호가 포함하는지 포함하지 않는지를 확인하지 않으면 마지막 정수 하나를 잘못 세기 쉽다.
계산 끝의 부등호가 해의 범위를 결정한다
다음 부등식의 정수해 개수를 구해 보자.
-2 < (3x-1)/2 ≤ 5
양변에 2를 곱하면 부등호 방향은 그대로이므로
-4 < 3x-1 ≤ 10
양변에 1을 더하면
-3 < 3x ≤ 11
3으로 나누어
-1 < x ≤ 11/3
따라서 정수 x는 0, 1, 2, 3이고 정수해는 모두 4개이다. 왼쪽 경계인 -1은 작은 부등호라서 포함되지 않지만, 오른쪽의 11/3은 포함되어도 정수가 아니므로 실제 정수해에 영향을 주지 않는다.
익숙한 계산이 경계 확인을 밀어낸 장면
학습 중인 학생의 답안에는 -3 < 3x ≤ 11까지 계산한 뒤, 곧바로 “정수는 -1, 0, 1, 2, 3”이라고 적혀 있었다. 괄호나 수직선 표시 없이 다음 계산으로 넘어가면서 -1을 해에 포함한 것이다. 틀린 식을 고친 뒤에도 부등호가 열린 경계인지 닫힌 경계인지 기록하지 않아 같은 오류가 반복될 가능성이 남았다.
잘못 센 범위: -1 ≤ x ≤ 3
정확한 범위: -1 < x ≤ 11/3
이 장면은 부등식 변형 자체를 전혀 못하는 상태라기보다, 계산 결과를 정수 조건으로 바꾸는 마지막 판단이 풀이 과정에서 빠진 상태를 보여 준다.
풀이 앞뒤에 경계 표시를 남긴다
훈련할 때는 부등식을 정리하기 전에 부호를 먼저 표시하고, 정수해를 적은 뒤 다시 대조한다.
- -1 < x: -1은 제외하므로 열린 점으로 표시한다.
- x ≤ 11/3: 11/3은 포함되지만 정수가 아니므로 정수 목록의 끝은 3이다.
- 정수 목록을 범위에 다시 대입해 0, 1, 2, 3만 남는지 확인한다.
예를 들어 x=0은 -1<0을 만족하고, x=3은 3≤11/3을 만족한다. 반면 x=-1은 -1<-1이 거짓이므로 제외된다. 이처럼 풀이 전에는 경계의 포함 여부를 표시하고, 풀이 후에는 가장 가까운 정수를 직접 점검하는 행동을 고정한다.
학교 자료와 다른 형식으로 바꾸어 확인하기
학교 프린트의 분수 부등식과 형식이 다른 문제로 다음을 제시한다.
|2x-3| < 5의 정수해 개수를 구하여라.
절댓값 부등식을 두 부등식으로 바꾸면
-5 < 2x-3 < 5
양변에 3을 더하고 2로 나누면
-1 < x < 4
따라서 정수해는 0, 1, 2, 3이 아니라, 양끝을 다시 확인해야 한다. 실제로 -1<x<4를 만족하는 정수는 0, 1, 2, 3이므로 4개이다. x=0을 원래 식에 넣으면 |−3|=3<5이고, x=3을 넣으면 |3|=3<5이다. x=4에서는 |5|=5가 되어 엄격한 부등식에 맞지 않는다.
새 문제의 계산·자료·설명에서 식, 근거, 결론을 나누어 확인한다. 식에는 변형 과정을 쓰고, 근거에는 양끝 경계가 제외된다는 판단을 적으며, 결론에는 정수 목록과 개수를 함께 제시한다. 이 세 부분이 모두 갖추어져야 경계값 확인을 실제 문제 해결에 적용한 것으로 본다.