효창동 고3 수학과외: 합성함수 적분에서 계수와 초기조건을 함께 확인하기
효창동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 용산고등학교·오산고등학교·성심여자고등학교·중경고등학교·배문고등학교 등 같은 용산구 통학권의 학생 사례를 참고해 학습 장면을 구성했다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있어, 특정 학교의 출제 경향보다 풀이 기준을 재현하는 데 초점을 둔다.
계수 하나를 놓치면 미분에서 바로 드러난다
학생은 다음 조건을 풀면서 합성함수의 겉함수만 보고 공식을 대입했다.
F'(x)=(3x+2)^4, F(1)=7일 때 F(0)의 값을 구하여라.
학생이 적은 오답은 다음과 같다.
오답: \(F(x)=\frac{(3x+2)^5}{5}+C\)
이는 틀린 식이다. \(u=3x+2\)로 치환하면 \(du=3dx\)이므로 \(dx=\frac{1}{3}du\)가 필요하다. 따라서 적분 결과에는 \(3\)으로 나누는 보정이 포함되어야 한다.
학생은 오답 줄에 밑줄을 긋고, 원식과 변형식을 두 줄로 나란히 적었다.
- 원식: \(\displaystyle \int(3x+2)^4dx\)
- 치환식: \(\displaystyle \frac{1}{3}\int u^4du=\frac{u^5}{15}+C\)
그러므로 정확한 원시함수는
\[ F(x)=\frac{(3x+2)^5}{15}+C \]
이다. \(F(1)=7\)을 대입하면
\[ \frac{5^5}{15}+C=7,\qquad \frac{625}{15}+C=7 \]
\[ C=7-\frac{125}{3}=-\frac{104}{3} \]
따라서
\[ F(0)=\frac{2^5}{15}-\frac{104}{3} =\frac{32}{15}-\frac{520}{15} =-\frac{488}{15} \]
마지막에는 미분으로 역검산했다.
\[ \left(\frac{(3x+2)^5}{15}-\frac{104}{3}\right)' =\frac{5(3x+2)^4\cdot3}{15} =(3x+2)^4 \]
초기조건을 바꿔도 같은 기준으로 검증하기
다음 문제에서는 합성함수의 안쪽 계수와 초기조건 위치를 바꾸었다.
G'(x)=(4-3x)^2, G(2)=1일 때 G(0)의 값을 구하여라.
학생이 먼저 확인할 기준은 \(u=4-3x\), \(du=-3dx\)이다. 따라서 부호와 계수 보정을 모두 반영하면
\[ G(x)=-\frac{(4-3x)^3}{9}+C \]
초기조건 \(G(2)=1\)을 대입하면
\[ -\frac{(4-6)^3}{9}+C=1 \] \[ \frac{8}{9}+C=1,\qquad C=\frac{1}{9} \]
그러므로
\[ G(0)=-\frac{4^3}{9}+\frac{1}{9} =-\frac{63}{9}=-7 \]
끝으로
\[ \left(-\frac{(4-3x)^3}{9}+\frac19\right)' =-\frac{3(4-3x)^2(-3)}9 =(4-3x)^2 \]
임을 확인했다. 이제 학생은 계수가 달라질 때 원시함수의 계수만 기계적으로 반복하지 않고, 안쪽 함수의 미분값과 부호를 먼저 확인한 뒤 초기조건 대입과 미분 검산까지 연결하는 방식으로 풀이하고 있다.