원종동고2수학과외, 공차를 구한 계산 줄에서 드러난 오류
원종동승윤노블리안아파트와 원종종합시장 주변에서 학교까지 이동하는 시간은 학생마다 다를 수 있다. 같은 오정구의 수주고등학교와 덕산고등학교를 통학권 참고 자료로 보더라도, 귀가 후 확보되는 풀이 시간과 문제를 다시 검산하는 습관은 개인별로 달라진다. 이번에는 짧게 푼 등차수열 문제에서 계산 한 줄이 빠지며 답 전체가 달라지는 장면을 확인했다.
14-5만 계산하면 공차가 되지 않는 이유
문제는 등차수열에서 a2=5, a5=14일 때 공차와 일반항을 구하는 것이었다. 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
d=14-5=9
하지만 a2에서 a5까지는 항이 세 칸 이동한다.
a5-a2=(5-2)d
따라서
14-5=3d, 9=3d, d=3
가 정확한 계산이다. 9는 공차가 아니라 세 칸 동안 증가한 전체 차이다. 공차를 항번호의 차이로 나누는 줄을 생략하면서, 기본 예제에서는 맞히던 항번호와 공차의 관계가 수치가 바뀐 문제에서 끊긴 것이다.
항의 차이를 먼저 말하고 식으로 옮기기
풀이를 고칠 때는 공식을 바로 외우게 하지 않고, d의 뜻을 먼저 말하게 한다. “공차는 이웃한 두 항 사이의 일정한 차이이고, 두 항 사이를 여러 칸 이동하면 공차를 그 칸 수만큼 더한다”라고 설명한 뒤 다음 한 줄만 바꾼다.
d=(a5-a2)/(5-2)=(14-5)/3=3
이제 일반항은 둘째 항을 기준으로
an=a2+(n-2)d=5+3(n-2)=3n-1
이다. 실제로 a2=5, a5=14가 다시 나와 항번호와 공차의 관계도 확인된다.
분수 항에서도 항번호 간격을 놓치지 않는지 확인
새 조건으로 a3=1/2, a7=13/2를 제시했다. 이번에는 정수 차이만 보고 계산하지 않도록 항번호 차이를 먼저 적는다.
7-3=4
d=(a7-a3)/(7-3)=((13/2)-(1/2))/4=6/4=3/2
이후 a4=1/2+3/2=2를 계산해 공차가 실제 이웃한 항 사이의 차이인지 확인한다. 숫자가 분수로 바뀌어도 항번호 사이의 이동 횟수를 식에 남겼다면, 전체 변화량을 공차로 잘못 적는 오답을 피할 수 있다.