원종동고1수학과외, 원의 방정식에서 중심 좌표 읽기
원의 방정식 (x-a)2+(y-b)2=r2에서 중심은 (a,b)이다. 따라서 괄호 안에 음수가 보이면 중심 좌표에서는 부호가 바뀐다. 예를 들어
(x-3)2+(y+2)2=25
의 중심은 (3,-2), 반지름은 5이다. y+2는 y-(-2)로 읽어야 하므로 중심의 y좌표가 -2가 된다.
계산보다 먼저 도형 요소를 연결하기
학교 프린트에서 “원의 중심과 반지름을 구하라”는 문제가 나왔을 때는 식을 곧바로 전개하지 않고, 먼저 원의 형태와 주어진 조건을 연결해야 한다. 원의 중심을 (p,q), 반지름을 r이라 하면
(x-p)2+(y-q)2=r2
이므로 각 괄호 안의 수를 그대로 좌표로 옮기는 것이 아니라, p와 q가 실제로 어떤 값인지 확인한다.
괄호의 부호를 놓친 답안
한 답안에서 다음 식의 중심을 (4,7)로 적었다.
(x-4)2+(y+7)2=16
학생은 인수의 숫자 4와 7을 먼저 읽고, y좌표의 부호를 마지막에 감으로 붙였다. 그러나 y+7=y-(-7)이므로 정확한 중심은 (4,-7), 반지름은 4이다. 중심을 (4,7)로 잡으면 원 전체가 y축 방향으로 반대 위치에 놓이게 된다.
두 번의 부호 확인을 풀이 안에 넣기
수정할 때는 별도의 구호를 길게 적기보다 실제 풀이의 앞뒤에 같은 판단을 남긴다. 먼저 식을
(x-4)2+(y-(-7))2=42
처럼 바꾸어 쓰고, 중심을 (4,-7)로 기록한다. 풀이가 끝난 뒤에는 중심을 다시 식에 넣어
(x-4)2+(y-(-7))2=16
이 되는지 확인한다. 이 과정을 거치면 숫자 7만 보고 좌표를 결정하는 습관 대신, 괄호 안의 식과 기준형의 관계를 확인하게 된다.
부호가 바뀐 조건에서 확인하기
다음 문제에서는 부호를 반대로 바꾸어 적용한다.
중심이 (-2,5)이고 반지름이 3인 원의 방정식을 구하여라.
중심 좌표를 기준형에 대입하면
(x-(-2))2+(y-5)2=32
이므로 답은 (x+2)2+(y-5)2=9이다. 여기서 x좌표가 -2이므로 식에는 x+2가 나타난다. 식을 완성한 뒤 다시 중심 (-2,5)를 읽어 내는지, 반지름을 3으로 확인하는지를 함께 본다.
원종동의 생활 리듬에 맞춘 짧은 검산
원종종합시장 인근 주거지에서 귀가 시간이 빠른 학생과 통학권 이동 시간이 긴 학생은 같은 문제를 공부할 수 있는 시간이 다를 수 있다. 긴 풀이보다 학교 프린트의 원 하나를 골라 중심과 반지름을 식 옆에 적고, 풀이 전후에 부호를 확인하는 짧은 검산을 유지하는 편이 적절하다. 오정구 내 수주고등학교와 덕산고등학교는 통학권 참고 학교이며, 원종동 소재 학교로 단정하지 않고 각자의 이동 시간에 맞춰 학습량을 조절해야 한다.
수행평가와 지필 문제에서 같은 판단 찾기
좌표평면에 원을 나타내는 수행평가에서는 중심을 (4,-7)에 표시해야 하고, 지필 문제에서는 같은 식에서 중심 좌표를 선택해야 한다. 표현은 달라도 괄호 안의 부호를 기준형과 비교하는 판단은 동일하다. 부호를 바꾼 식에서도 중심과 반지름을 정확히 연결하고, 풀이 전후에 그 판단을 스스로 확인한다면 이 개념을 다음 문제에 적용할 준비가 된 것이다.