표준화의 첫 줄에서 달라지는 정규분포 해석
원종동승윤노블리안아파트와 원종종합시장 주변에서 생활하는 학생이라도 수주고등학교나 덕산고등학교 통학 거리에 따라 수학 문제를 검토할 시간이 달라질 수 있다. 이 학생은 계산 속도보다 평균과 표준편차가 바뀔 때 표준화 식과 대칭축이 어떻게 이동하는지를 먼저 점검하는 연습이 필요했다.
마지막 부호가 아니라 평균 조건부터 확인하기
확률변수 \(X\)가 평균 \(70\), 표준편차 \(8\)인 정규분포를 따른다고 하자. \(P(62\le X\le78)\)을 표준화하면
\[ P\left(\frac{62-70}{8}\le\frac{X-70}{8}\le\frac{78-70}{8}\right) =P(-1\le Z\le1) \]
따라서 표준정규분포표에서 \(\Phi(1)-\Phi(-1)\)을 읽어 약 \(0.6826\)을 얻는다.
그런데 학생은 평균이 \(74\)로 바뀐 문제에서도 대칭축을 그대로 \(70\)에 두고 다음처럼 적었다.
오답: \(X\sim N(74,8^2)\)인데 \(P(66\le X\le82)\)를
\[ P\left(\frac{66-70}{8}\le Z\le\frac{82-70}{8}\right) =P(-0.5\le Z\le1.5) \] 로 계산함.
이 식은 틀렸다. 정규분포의 대칭축은 평균이므로 \(X\sim N(74,8^2)\)에서는 \(x=74\)가 중심이다. 표준화할 때도 모든 값에서 새 평균 \(74\)를 빼야 한다.
조건과 식을 화살표로 연결한 수정
- 분포 조건: \(X\sim N(74,8^2)\)
- 대칭축: \(x=74\)
- 표준화: \(Z=\dfrac{X-74}{8}\)
- 구간 변환: \(66\le X\le82\Rightarrow -1\le Z\le1\)
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 평균과 대칭축을 화살표로 연결하고 식을 다시 썼다.
\[ P(66\le X\le82) =P\left(\frac{66-74}{8}\le\frac{X-74}{8}\le\frac{82-74}{8}\right) =P(-1\le Z\le1) \]
\[ P(-1\le Z\le1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=0.8413-0.1587=0.6826 \]
역계산으로 \(Z=-1,1\)을 \(X=74+8Z\)에 넣으면 각각 \(66,82\)가 되어 구간 변환도 확인된다. 평균 \(74\)를 중심으로 좌우 거리가 모두 \(8\)이므로 그래프의 대칭도 맞다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 \(Y\sim N(52,5^2)\)이고 \(P(47\le Y\le62)\)를 구하게 했다. 같은 문제의 숫자를 반복하지 않고 새 조건에서 먼저 평균과 구간의 위치를 적었다.
\[ W=\frac{Y-52}{5},\qquad 47\le Y\le62\Rightarrow -1\le W\le2 \]
따라서
\[ P(47\le Y\le62)=P(-1\le W\le2) =\Phi(2)-\Phi(-1) =0.9772-0.1587=0.8185 \]
학생은 대칭축을 \(52\)로 표시하고 \(52+5(-1)=47\), \(52+5(2)=62\)를 대입해 검산했다. 이제 평균이 바뀌면 대칭축과 표준화 식을 함께 바꿔야 한다는 판단 기준을 계산 전에 세울 수 있다.