채운 점의 높이와 x→1의 접근값은 다르다
오산고등학교, 세마고등학교, 세교고등학교 등 오산의 고등학교에서 시험 준비를 하다 보면 그래프의 점 하나를 보고 극한값까지 결정하는 오답이 나타난다. 오산역e-편한세상1단지아파트나 문화의거리 인근처럼 귀가 시간이 일정하지 않은 생활권에서는 풀이를 마지막 답만 고치는 방식으로 끝내기보다, 오류가 발생한 계산 줄을 찾아야 한다.
f(1)=5라고 해서 극한도 5가 되지는 않는다
다음 함수의 값을 살펴보자.
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & (x\ne 1)\\ 5 & (x=1) \end{cases} \]
학생은 그래프에서 \(x=1\)일 때 채운 점의 높이가 5인 것을 확인한 뒤 다음과 같이 적었다.
\[ f(1)=5 \quad\therefore\quad \lim_{x\to1}f(x)=5 \]
그러나 이 식에서 \(f(1)=5\)는 \(x=1\)에서의 실제 함숫값이고, 극한은 \(x\)가 1이 아닌 상태로 1에 가까워질 때의 함수값을 뜻한다. \(x\ne1\)에서는 \(f(x)=x+1\)이므로
\[ \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2 \]
따라서 이 함수는 \(f(1)=5\), \(\lim_{x\to1}f(x)=2\)이다. 두 값이 다르므로 \(x=1\)에서 연속도 아니다. 마지막 숫자 5만 2로 바꾸는 것으로는, 왜 처음 식이 틀렸는지 설명할 수 없다.
기호를 말로 바꾼 뒤 계산 줄을 고친다
풀이를 시작하기 전에 다음 두 문장을 구분해 말해야 한다.
- \(f(1)\): \(x=1\)을 직접 넣었을 때 정해지는 점의 함수값
- \(\lim_{x\to1}f(x)\): \(x=1\)에 가까워질 때 주변에서 다가가는 함수값
그다음 오답의 결론을 통째로 지우지 말고, 극한을 판단한 한 줄만 다음처럼 바꾼다.
\[ f(1)=5,\qquad \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2 \]
이렇게 하면 채운 점의 값과 주변 그래프의 접근값을 각각 계산했는지 답안에서 확인할 수 있다.
끝점의 열린 점과 닫힌 점까지 구분하기
같은 판단을 끝점에서 확인해 보자.
\[ g(x)= \begin{cases} 3 & (x<2)\\ 1 & (x=2) \end{cases} \]
왼쪽에서 \(x\)가 2에 가까워지므로
\[ \lim_{x\to2^-}g(x)=3,\qquad g(2)=1 \]
그래프에서는 \(x=2\)에서 높이 3인 점은 열린 점, 높이 1인 점은 닫힌 점으로 표시한다. 끝점을 포함하는지 묻는 조건이 \(x\le2\)로 바뀌면 \(x=2\)의 점은 닫힌 점이고, \(x<2\)이면 열린 점이다. 채운 점의 위치와 왼쪽에서 다가가는 값 3을 섞지 않고 각각 적었다면 이 변형에서도 정확히 구분할 수 있다.